Hallo,

\(f'(x)=0\) nach x aufgelöst gibt nur die Stellen an, an denen die Steigung des Graphs gleich null ist. Daraus muss allerdings kein lokales Extremum folgen. Wenn \(f''(x_0)\neq 0\) gilt, so liegt tatsächlich ein lok. Extremum vor. \(f''(x_0)=0\) impliziert, dass an der Stelle \(x_0\) ein Extremum der 1. Ableitung existiert und somit ändert sich die Steigung der Funktion nicht. 

Ich hab auch schon was getippt, aber ganz anders, ich hab mehr die notwendigen und hinreichenden Bedinungen im Allgemeinen erklärt, deswegen antworte ich Mal trotzdem noch, auch wenn Maccheroni das schon für deinen Zusammenhang gut getan hat.

Also angenommen wir haben eine Eigenschaft E (z.B. Extrempunkte,...).

Wenn die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, dann kannst du dir sicher sein, dass E nicht angenommen ist. Die notwendige Bedingung ist gut, um Sachen auszuschließen. Sie bedeutet allerdings nicht zwingend, dass E erfüllt ist. Es gibt Fälle, in denen die Notwendige erfüllt ist, aber E nicht angenommen wird.

Sicher sein kannst du dir bei der hinreichenden Bedinung. Ist diese erflüllt, so wird E angenommen. An dieser Stelle muss dann auch die notwendige Bedingung erfüllt sein! Aber erst mit der hinreichenden Bedinung kannst du dir ganz sicher sein, dass E gilt. 

Leider kann es auch Fälle geben, wo die hinreichende Bedinung nicht erfüllt ist, und E trotzdem gilt. Du kannst dir durch die hinreichende Bedinung in positiven Fällen sicher sein, aber nichts ausschließen.

Also die notwendige Bedingung ist gut um Fälle auszuschließen. Also: ich kann zeigen, dass dieser Punkt, diese Menge, diese Gleichung,... E auf keinen Fall erfüllt.

Oft wird die notwendige Bedingung aber auch folgendermaßen verwendet: wenn du weißt, es existiert ein Fall (eine Menge, ein Punkt,...) wo E erfüllt ist und du hast nur einen Fall, wo die notwendige Bedinung angenommen wird: dann ist die notwendige Bedingung auch hinreichend.

Beispiel: 

R - Regen, N - nasser Boden

N ist notwendig für R. Es hat nicht geregnet, wenn es nicht nass ist. Ich kann etwas ausschließen. Es gibt aber durchaus Fälle, in denen es nass ist aber nicht geregnet hat. N ist nicht hinreichend für R.

R ist hinreichend für N. Wenn es regnet ist der Boden nass. Es kann aber auch andere Möglichkeiten geben wie der Boden nass wird. R ist nicht notwendig für N.

Es gilt allgemein:

A ist hinreichend für B genau dann wenn B notwendig für A ist.