Hallo,

I:
a) grundsätzlich gilt \(\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}\)

b) Und nach dem HDI \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\, dx = \ln x +C\).

II:
Wenn du Brüche wie \(\dfrac{n}{x}\) hast, kannst du jederzeit das \(n\) vor den Bruch ziehen und als Vorfaktor sogar vor das Integral, sodass du wieder den Bruch in Form von \(\dfrac{1}{x}\) hast.

b) Hast du im Nenner einen "komplexeren" Term, würde ich zur Substitution raten.

III:
Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, so ist die Stammfunktion der Logarithmus des Nenners:

\(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{g'(x)}{g(x)} \longrightarrow \displaystyle\int\dfrac{f(x)}{g(x)}=\ln(g(x))+C\) bzw. \(\ln(|g(x)|)+C\) (reellwertiger Log).
Natürlich kann man hier auch noch Faktoren etc. vor den Bruch ziehen, falls die Ableitung des Nenners nicht ganz dem Zähler entspricht. 

- 3/x mit 3*ln(x) passt (ggf. Betragsstriche ergänzen [vide supra])

- \(\displaystyle\int 2+\dfrac{4x}{x}\, dx = 6x+C\)

- Bei 2x-5/x^2 die Summenregel anwenden und für \(\dfrac{-5}{x^2}\) gilt \(-5\dfrac{1}{x^2}\) und dann weiter mit der Potenzregel.

Die erste Antwort ist korrekt da 3/x=3*1/x. Da du den 3er vor ziehen darfst musst du nur das Integral von 1/x betrachten und dies ist der ln(x). Dann musst du den 3er noch beachten und daher ist es gemeinsam 3*ln(x).

Zur zweiten Aufgabe:

(2+4x)/x=2/x + 4x/x. Diese Ausdrücke darfst du dir einzeln ansehen. Für 2/x gilt das gleiche wie oben 2/x=2*1/x. Daher 2*ln(x). Für 4x/x gilt: 4x/x=4 und das Integral von 4 ist 4x. Daher hast du als Ergebnis 2*ln(x)+4x.

Probiere eventuell mit dieser Hilfestellung das dritte Beispiel zu lösen.