Question

Jordan basen berechnen/finden

Aufrufe: 1580 Aktiv: 29.03.2019 um 18:05

0

Guten Tag

Meine Frage ist nun wie ich diese berechnen kann?

Ich weiss dass die einzelenen basen angewendet auf die Matrix dann jeweils denn folgenden basisvektor ergibt oder 0.

Wie komme ich nun rechnerisch auf die Basiselemente?

Vielen Dank

Grüsse Christian

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gefragt 29.03.2019 um 18:05

chrugi
Student, Punkte: 83

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1 Antwort

christian_strack · Accepted Answer · 2019-03-30T12:51:03Z

0

Hallo,

wie beim diagonalisieren werden zuerst die Eigenwerte (die alle Null sind, da die Matrix nilpotent ist) und die Eigenvektoren (Eigenräume) bestimmt.

Da wir die Matrix nicht diagonalisieren können, ist die algebraische Vielfachheit größer als die geometrische Vielfachheit.

Du musst nun die so genanten Hauptvektoren bestimmen.

Ich würde sagen wir machen das einmal zusammen an einer deiner Matrizen.

Wir haben die Matrix

\( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)

Da bereits erwähnt wurde, das die Matrix nilpotent ist, ist das charakteristische Polynom

\( \chi (\lambda )= \lambda ^3 \)

und wir haben den dreifachen Eigenwert \( \lambda = 0\)

Nun müssen wir den Eigenraum bestimmen über

\( ker(A-\lambda I) = Ker (A) \)
( \( \lambda= 0 \), also gibt das Produkt aus Eigenwert und Einheitsmatrix, die Nullmatrix)

Wie sieht der Kern aus?

Nun bestimmst du den verallgemeinerten Eigenraum

\( ker(A- \lambda I)^2 = ker (A^2) \)

Wie sieht dieser Kern aus?

Du bestimmst nun solange den Kern der nächst höheren Dimension ( \( Ker(A- \lambda I)^3 , \ldots \) ), bis die Dimension des Kerns gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes ist.

Bestimme das erstmal dann sehen wir weiter :)

Grüße Christian

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geantwortet 30.03.2019 um 12:51

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Danke für die Antwort.

Werde es versuchen und mich dann wieder melden :)

Grüsse Christian

─ chrugi 01.04.2019 um 07:49

Hallo Christian

Nun habe ich es auch geschafft, glaube ich...

Ich habe die Jordan-Basis gefunden:

{(-1,1,0),(0,1,-1),(1,0,0)}.

Stimmt das?

Und wenn nein, wie würde sie aussehen?

Nun habe ich noch eine kleine Frage(wenn ich schon dabei bin ^.^)

Nun ist meine Frage wie man das Minimalpolynom ohne das char.Polynom berechnet?

Mit dem char.Polynom komme ich mit "probieren" auf das Minimalpolynom.

Nun hatten wir einen Satz in der Vorlesung der sagte:

Wie komme ich nun so auf das Minimalpolynom?

Ich habe das Gefühl dass es ähnlich geht wie die Jordan-Normalform zu bestimmen, jedoch stehe ich momentan auf dem Schlauch.

Dass wäre noch die "Erklärung" aus dem Buch. Sorry für den langen Text, komme aber gerade nicht weiter.

Schon jetzt vielen Dank und liebe Grüsse

Christian

Hallo Christian
Nun habe ich es auch geschafft, glaube ich...
Ich habe die Jordan-Basis gefunden:
{(-1,1,0),(0,1,-1),(1,0,0)}.
Stimmt das?
Und wenn nein, wie würde sie aussehen?
Nun habe ich noch eine kleine Frage(wenn ich schon dabei bin ^.^)
 
<img src="../../../media/2019/4/3/d1532163e6beffc45a2e7c57.png" width="60%" />
 
Nun ist meine Frage wie man das Minimalpolynom ohne das char.Polynom berechnet?
Mit dem char.Polynom komme ich mit "probieren" auf das Minimalpolynom.
Nun hatten wir einen Satz in der Vorlesung der sagte:
<img src="../../../media/2019/4/3/5dbe53be81574cf9bc62d9e5.png" width="60%" />
Wie komme ich nun so auf das Minimalpolynom?
Ich habe das Gefühl dass es ähnlich geht wie die Jordan-Normalform zu bestimmen, jedoch stehe ich momentan auf dem Schlauch.
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Dass wäre noch die "Erklärung" aus dem Buch. Sorry für den langen Text, komme aber gerade nicht weiter.
Schon jetzt vielen Dank und liebe Grüsse
Christian

─ chrugi 03.04.2019 um 19:22

Ja das ist eine Jordanbasis von A. Merke dir aber, das es unendlich viele gibt.

Ich bin mir nicht ganz sicher, wofür die Buchstaben in deinen Sätzen stehen. Leider nutzen viele unterschiedliche Notationen. Aber soweit mir bekannt ist, gibt es zwei Möglichkeiten das Minimalpolynom zu bestimmen.

Die erste Möglichkeit ist im direkten Zusammenhang zur Jordan-Normalenform.

Das Minimalpolynom einer Matrix, ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für das noch gilt

\( m(A) = 0 \)

Daher hat das Minimalpolynom die Eigenwerte von \( A \) als Nullstellen ( genau wie das charakteristische Polynom)
Der Grad der Linearfaktoren, kann man über die Länge der Jordanketten bestimmen.
Die Länge der längsten Jordankette zu einem Eigenwert entspricht der Potenz dieses Eigenwertes im Minimalpolynom.
Zum Beispiel hätte die Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 3 \end{pmatrix} \)

hat das Minimalpolynom

\( m(\lambda ) = ( \lambda -1)^2 (\lambda -2 ) ^2 (\lambda - 3)^3 \)

Die zweite Möglichkeit, ist das Minimalpolynom aus dem charakterisitischen Polynom zu konstruieren.

Sowohl für das charakteristische, als auch für das Minimalpolynom, müssen wir Null als Ergebnis erhalten, wenn wir die Matrix einsetzen.

Also nimmst du das charakteristische Polynom und reduzierst einen Linearfaktor um eine Potenz und setzt dann die Matrix ein. Ergibt das Polynom immer noch Null, so kannst du wieder die Potenz um eins erniedrigen, bis nicht mehr Null rauskommt.
Das machst du mit allen Linearfaktoren.
Im Minimalpolynom, sind die Potenzen der Linearfaktoren genau die, bei denen das Polynom noch Null ergeben hat.

Grüße Christian

Ja das ist eine Jordanbasis von A. Merke dir aber, das es unendlich viele gibt. 
Ich bin mir nicht ganz sicher, wofür die Buchstaben in deinen Sätzen stehen. Leider nutzen viele unterschiedliche Notationen. Aber soweit mir bekannt ist, gibt es zwei Möglichkeiten das Minimalpolynom zu bestimmen. 
Die erste Möglichkeit ist im direkten Zusammenhang zur Jordan-Normalenform.
Das Minimalpolynom einer Matrix, ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für das noch gilt 
\( m(A) = 0 \)
Daher hat das Minimalpolynom die Eigenwerte von \( A \) als Nullstellen ( genau wie das charakteristische Polynom) Der Grad der Linearfaktoren, kann man über die Länge der Jordanketten bestimmen.  Die Länge der längsten Jordankette zu einem Eigenwert entspricht der Potenz dieses Eigenwertes im Minimalpolynom.  Zum Beispiel hätte die Matrix
\( \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 3 &amp; 1 \\ 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0&amp; 3 \end{pmatrix} \)
hat das Minimalpolynom
\( m(\lambda ) = ( \lambda -1)^2 (\lambda -2 ) ^2 (\lambda - 3)^3 \)
Die zweite Möglichkeit, ist das Minimalpolynom aus dem charakterisitischen Polynom zu konstruieren.
Sowohl für das charakteristische, als auch für das Minimalpolynom, müssen wir Null als Ergebnis erhalten, wenn wir die Matrix einsetzen.
Also nimmst du das charakteristische Polynom und reduzierst einen Linearfaktor um eine Potenz und setzt dann die Matrix ein. Ergibt das Polynom immer noch Null, so kannst du wieder die Potenz um eins erniedrigen, bis nicht mehr Null rauskommt.  Das machst du mit allen Linearfaktoren.  Im Minimalpolynom, sind die Potenzen der Linearfaktoren genau die, bei denen das Polynom noch Null ergeben hat.
Grüße Christian

─ christian_strack 04.04.2019 um 11:58

Die zweite Möglichkeit ist natürlich nur sinnvoll, wenn die Potenzen nicht zu groß sind. Ansonsten ist der Rechenaufwand viel zu groß.

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom nur paarweise verschiedene Nullstellen hat.

─ christian_strack 04.04.2019 um 12:01

Hallo Christian

Vielen Dank hat mir sehr geholfen dass wohl grösste thema im Lin.Alg 2 zu verstehen :)

Liebe Grüsse

Christian

─ chrugi 05.04.2019 um 17:03

Das freut mich zu hören :)

─ christian_strack 06.04.2019 um 13:17

Sorry für die vielen Fragen.

Kommt aber noch einmal eine.

Bei meiner Basis ist ja jetzt schon der 2.Spalteneintrag der Transformationsmatrix also {0,1,-1} ein Eigenvektor von A, weil er im Kern von A liegt.

und dass darf ja nicht sein oder?

Es muss ja immer ein Hauptvektor im äusseren Kern liegen.

Und diesen dann angewendet auf den Kern der tieferen Stufe darf ja nicht null ergeben.(Wäre ja sonst im Kern der tieferen Stufe).?

Wie funktioniert es nun, wenn wie im diesem Beispiel schon auf der 2.Stufe der Kern der Matrix der Ganze Raum ist?

Denn wenn ich dann den 2.Hauptvektor zum 1. setze nehmen wir als beispiel e1, dann bin ich ja schon im Kern von A...

Hoffentlich ist es etwas verständlich was die Frage ist.

Vielen Dank bin gerade etwas verwirrt.

Beziehe mich auf diese Theorie...

Sorry für die vielen Fragen.
Kommt aber noch einmal eine.
Bei meiner Basis ist ja jetzt schon der 2.Spalteneintrag der Transformationsmatrix also {0,1,-1} ein Eigenvektor von A, weil er im Kern von A liegt.
und dass darf ja nicht sein oder?
Es muss ja immer ein Hauptvektor im äusseren Kern liegen.
Und diesen dann angewendet auf den Kern der tieferen Stufe darf ja nicht null ergeben.(Wäre ja sonst im Kern der tieferen Stufe).?
Wie funktioniert es nun, wenn wie im diesem Beispiel schon auf der 2.Stufe der Kern der Matrix der Ganze Raum ist?
Denn wenn ich dann den 2.Hauptvektor zum 1. setze nehmen wir als beispiel e1, dann bin ich ja schon im Kern von A...
 
Hoffentlich ist es etwas verständlich was die Frage ist.
Vielen Dank bin gerade etwas verwirrt.
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<img src="../../../media/2019/4/6/b2ef6645d0eabfd9797b2863.png" width="60%" />
Beziehe mich auf diese Theorie...

─ chrugi 06.04.2019 um 16:20

Ach kein Problem. Dafür gibt es das Forum ;)

Außerdem macht es doch am meisten Spaß jemanden etwas zu erklären, wenn die Person sich damit auch wirklich beschäftigt.

Die länge der Längsten Jordankette zu einem Eigenwert ist die Dimension \( s \) für die gilt

\( ker(A - \lambda I)^s = \mathbb{K}^n \)

In unserem Fall ist also \( s=2 \). Um nun die dazu gehörigen Basisvektoren zu bestimmen wählen wir

\( w_2 \in ker(A - \lambda I)^2 \backslash ker(A- \lambda I) \)

Wir wählen \( w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Nun erhalten wir \( w_1 \) durch

\( w_1 = (A- \lambda I ) w_2 = A w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Das ist die Basis unseres ersten Jordanblocks.

Nun geht es an den nächsten Block. Es gibt nun keinen Vektor mehr für den gilt

\( v_2 \in ker(A - \lambda I)^2 \backslash Span( ker(A- \lambda I) \cup \{w_2 \} ) \)

Wir müssen also einen Vektor aus \( ker(A- \lambda I) \) wählen, für den gilt

\( v_1 \in ker(A - \lambda I) \backslash Span( \{ w_1 \} ) \)

Wir können den neuen Vektor also frei wählen, mit der Einschränkung, das er linear unabhängig von \( w_1 \) ist. Dafür kann man dann sofort einen anderen Eigenvektor nehmen.

\( \{ w_1 \} \) ist also die Basis unseres zweiten Jordanblockes.

Wir haben also zwei Hauptvektorketten und zwar die Kette \( w_1 ,w_2 \) und die Kette \( v_1 \).

Beantwortet das deine Frage?

Ach kein Problem. Dafür gibt es das Forum ;)
Außerdem macht es doch am meisten Spaß jemanden etwas zu erklären, wenn die Person sich damit auch wirklich beschäftigt. 
Die länge der Längsten Jordankette zu einem Eigenwert ist die Dimension \( s \) für die gilt
\( ker(A - \lambda I)^s = \mathbb{K}^n \)
In unserem Fall ist also \( s=2 \). Um nun die dazu gehörigen Basisvektoren zu bestimmen wählen wir 
\( w_2 \in ker(A - \lambda I)^2 \backslash ker(A- \lambda I) \) 
Wir wählen \( w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Nun erhalten wir \( w_1 \) durch
\( w_1 = (A- \lambda I ) w_2 = A w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Das ist die Basis unseres ersten Jordanblocks. 
Nun geht es an den nächsten Block. Es gibt nun keinen Vektor mehr für den gilt
\( v_2 \in ker(A - \lambda I)^2 \backslash Span( ker(A- \lambda I) \cup \{w_2 \} ) \)
Wir müssen also einen Vektor aus \( ker(A- \lambda I) \) wählen, für den gilt
\( v_1 \in ker(A - \lambda I) \backslash Span(  \{ w_1 \} ) \)
Wir können den neuen Vektor also frei wählen, mit der Einschränkung, das er linear unabhängig von \( w_1 \) ist. Dafür kann man dann sofort einen anderen Eigenvektor nehmen. 
\( \{ w_1 \} \) ist also die Basis unseres zweiten Jordanblockes. 
Wir haben also zwei Hauptvektorketten und zwar die Kette \( w_1 ,w_2 \) und die Kette \( v_1 \).
Beantwortet das deine Frage?

─ christian_strack 06.04.2019 um 18:10

Hallo Christian

Vielen Vielen Dank, jetzt ist es klar geworden :)

Könntest du mir noch sagen wieso dies gilt?

Verstehe die Intuition, jedoch nicht ganz wieso dass jetzt gilt...

Dann wäre jetzt meine Jordan-Basis: {w1,w2,EV1/EV2}?

Vielen Dank und Liebe Grüsse

Christian

─ chrugi 06.04.2019 um 18:37

Wir starten eine neue Hauptvektorenkette. Jeder dieser Ketten hat mindestens einen Eigenvektor, bei der die Kette quasi startet ( nicht bei der Berechnung, sondern hinterher in der Basis). Wir müssen jetzt nur herausfinden wie lang diese Jordanblöcke sind.

Die längste Kette hat die Länge \( s \), wobei \( s \) die oben bereits erwänte Dimension ist.

Nun sind aber nicht alle Ketten so lang. Deshalb nehmen wir bei unserem Algorithmus so lange Elemente aus \( ker(A- \lambda I)^s \), so lange wir welche finden, die nicht in den kleineren Kernen liegen, also nicht in \( ker(A- \lambda I )^{s-1} \) ist.
Wenn wir nun mit der ersten Kette fertig sind, weil wir bei einem Eigenvektor angekommen sind, müssen wir die nächste starten. Wir bedienen uns wieder aus \( ker(A- \lambda I)^s \backslash ker(A - \lambda I)^{s-1} \).
Nun würden wir aber den selben Block beschreiben, wenn wir mit dem selben Hauptvektor oder einem linear abhängigen Hauptvektor starten würden. Also müssen wir natürlich einen Vektor nehmen der linear unabhängig ist. Darf also nicht in der Menge \( Span(\{ w_s \} ) \) sein.

Nun ist\( Span(ker(A - \lambda I)^{s-1} \cup \{w_2 \} ) \) das Erzeugendensystem, das die oben genannten Fälle erzeugt.

Was meinst du mit EV1/EV2 ?

Bedenke bei der Basis und der Jordan-Normalenform, das diese nicht eindeutig sind. Das wichtigste das du beachten musst, ist das die Hauptvektorketten immer in der richtigen Reihenfolge nacheinander geschrieben werden. Wann welche Kette in der Basis vorkommt, beeinflusst nur wo sich die Blöcke befinden.

Wir starten eine neue Hauptvektorenkette. Jeder dieser Ketten hat mindestens einen Eigenvektor, bei der die Kette quasi startet ( nicht bei der Berechnung, sondern hinterher in der Basis). Wir müssen jetzt nur herausfinden wie lang diese Jordanblöcke sind.
Die längste Kette hat die Länge \( s \), wobei \( s \) die oben bereits erwänte Dimension ist.
Nun sind aber nicht alle Ketten so lang. Deshalb nehmen wir bei unserem Algorithmus so lange Elemente aus \( ker(A- \lambda I)^s \), so lange wir welche finden, die nicht in den kleineren Kernen liegen, also nicht in \( ker(A- \lambda I )^{s-1} \) ist.  Wenn wir nun mit der ersten Kette fertig sind, weil wir bei einem Eigenvektor angekommen sind, müssen wir die nächste starten. Wir bedienen uns wieder aus \( ker(A- \lambda I)^s \backslash ker(A - \lambda I)^{s-1} \).  Nun würden wir aber den selben Block beschreiben, wenn wir mit dem selben Hauptvektor oder einem linear abhängigen Hauptvektor starten würden. Also müssen wir natürlich einen Vektor nehmen der linear unabhängig ist. Darf also nicht in der Menge \( Span(\{ w_s \} ) \) sein. 
Nun ist\( Span(ker(A - \lambda I)^{s-1} \cup \{w_2 \} ) \) das Erzeugendensystem, das die oben genannten Fälle erzeugt. 
Was meinst du mit EV1/EV2 ? 
Bedenke bei der Basis und der Jordan-Normalenform, das diese nicht eindeutig sind. Das wichtigste das du beachten musst, ist das die Hauptvektorketten immer in der richtigen Reihenfolge nacheinander geschrieben werden. Wann welche Kette in der Basis vorkommt, beeinflusst nur wo sich die Blöcke befinden.

─ christian_strack 07.04.2019 um 14:53

Okay vielen Dank.

Mit EV1/EV2 meine ich einfach den Eigenvektor den man ja wähle darf solange er linear unabhängig zu w1 ist in diesem Beispiel hier.

─ chrugi 07.04.2019 um 16:03

Ah ok, ja genau. In unserem Fall stimmt das so.

─ christian_strack 07.04.2019 um 17:04

okay top, endlich verstanden :)

Vielen Dank

Liebe Grüsse Christian

─ chrugi 07.04.2019 um 20:23

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