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Hallo,
ein guter erster Schritt ist es, die trig. Identität \(\sin^2(x)=\dfrac{1}{2}(1-\cos(2x))\) anzuwenden.
Es ergibt sich \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x\sin(x)(1-\cos(2x))\, dx\).
Durch erweitern von \(x\sin(x)(1-\cos(2x))\) zu \(x\sin(x)-x\sin(x)\cos(2x)\) erhalten wir
\(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (x\sin(x)-x\sin(x)\cos(2x))\, dx = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x\sin(x)\cos(2x)\, dx + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int x \sin(x)\, dx\)
Ferner können wir den Integrand des ersten Teilintegral umschreiben zu \(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int x(\sin(3x)-\sin(x))\, dx\)
Kommst du ab hier weiter?
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"Woher kommt das x vor sin(x) in deinem ersten Integral? Ist das eine fixe Formel?"
In der ersten Zeile wird \(\sin^2(x)\) umgeschrieben. Dein Integrand lautet aber \(\sin^3(x) \cdot x\). Also bleiben \(x\sin^1(x)\) übrig.
"Und wie genau kann ich das erste Teilintegral so umschreiben, dass -1/4 etc... rauskommt?"
Wieder eine trig. Identität. \(\sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta)+\sin(\alpha + \beta)\) mit \(\alpha=x,\: \beta=2x\). Und \(-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\)
Den Integrand in der letzten Zeile ausmultiplizieren: \(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int (x\sin(3x)-x\sin(x))\, dx\) (nicht das zweite Teilintegral vergessen!)
Dieses 1. Teilintegral ließe sich nochmals aufteilen, der "zweite" Teil (\(-x\sin(x)\)) steht, bis auf das Minus, so im zweiten Teilintegral. Wenn wir ihn darein ziehen, und den Vorfaktor \(-\dfrac{1}{4}\) mit dem Vorzeichen (\(-1\)) multiplizieren und zu dem Vorfaktor des 2. Teilintegrals addieren, erhalten wir
\(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int x\sin(3x)\, dx + \dfrac{3}{4}\displaystyle\int x\sin(x)\, dx\)
Ab jetzt kannst du partiell integrieren.
─ maccheroni_konstante 06.04.2019 um 17:16
Vielen Dank schon mal dafür
der ist Anfang und das Erweitern sind jetzt klar (:
Woher kommt das x vor sin(x) in deinem ersten Integral? Ist das eine fixe Formel?
Und wie genau kann ich das erste Teilintegral so umschreiben, dass -1/4 etc... rauskommt?
Wäre lieb wenn du es gar vorrechnen und dabei erklären könntest (:
─ l22 06.04.2019 um 15:16