Hallo,

es soll gezeigt werden, dass \(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \right )=-\ln \left (\dfrac{2-a}{a+2} \right)\) für \(\{x \in \mathbb{R}|-2 < a < 2\}\) gilt. Es bietet sich an, die Logarithmen auf eine Seite zu setzen:

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \right ) +\ln \left (\dfrac{2-a}{a+2} \right)=0\)

Nun wenden wir die Log.-Regel \(\log_b(x)+\log_b(y)=\log_b(xy)\) an:

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2}\right ) =0\)

Ferner gilt die Regel \(a=\log_b(b^a)\). Somit gilt für 0: \(0=\ln(e^0)=\ln(1)\).

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2}\right ) =\ln(1)\)

Da beide Seiten die gleiche Log-Basis besitzen, können wir diesen entfernen:

\(\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2} =1\)

Der Rest sollte nun trivial sein.