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Hallo,
betrachte mal die Projektion die man über das Skalarprodukt berechnet.
\( \vec{b_a} = k \vec {a} \)
Dabei ist \( \vec{b_a} \) die Projektion des Vektors \( \vec{a} \) auf \( \vec{b} \) und \( k \) ist der Streckungsfaktor, mit
\( k = \frac {\vec{a} \cdot \vec{b}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} \)
Wir bestimmen mit dem Gram-Schmidt Verfahren also immer die Projektion eines Vektors auf die bereits bestimmten Basisvektoren und ziehen diese ab, damit der Vektor senkrecht auf all diesen Vektoren steht.
Beim orthonormalisieren,"fällt der Nenner weg", da der Nenner immer 1 ergibt.
Edit: \( \vec{b_a} \) ist natürlich die Projektion von \( \vec{b} \) auf \( \vec{a} \).
Grüße Christian
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Hallo,
das verstehst du richtig. Die Gleichung resultiert direkt aus der Defintion
\( <a,b> = \Vert \vec{a_b} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \Vert \)
und
\( \vec{a_{b}} = k \vec{b} \)
Es gilt
\( \Vert \vec{a_{b}} \Vert = \Vert k \vec{b} \Vert = k \Vert \vec{b} \Vert \\ \Rightarrow <a,b> = k \Vert \vec{b} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \Vert \\ \Rightarrow \frac {<a,b>} {\Vert \vec{b} \Vert^2} = k \)
Und das war der Zusammenhang, den ich oben genutzt habe.
Ist es jetzt verständlich?
Grüße Christian
─ christian_strack 15.04.2019 um 22:37Ah jetzt ist gut :)
Vielen vielen Dank für die sehr gute Erklärung!
Liebe Grüsse
Christian
─ chrugi 15.04.2019 um 23:08Freut mich zu hören. :)
Sehr gerne
Grüße Christian
─ christian_strack 15.04.2019 um 23:23Ist es weil der Streckungsfaktor immer postitiv sein muss?
Vielen Dank und liebe Grüsse
Christian ─ chrugi 16.04.2019 um 12:35
Das resultiert direkt aus der Definition, da wir die Länge des Vektors \( b \) und die Länge der Projektion von \( a \) auf \( b \) multiplizieren. Diese Längen sind aber positiv und somit ist diese Definiton auch nur für ein positives Skalarprodukt.
Wir können aber auch eine ähnliche Überlegung für einen stumpfen Winkel machen und erhalten das selbe Ergebnis, da dann das Skalarprodukt negativ ist. Bei einem stumpfen Winkel ist dann auch der Streckungsfaktor negativ.
Grüße Christian ─ christian_strack 16.04.2019 um 13:30
Vielen Dank
Liebe Grüsse
Christian ─ chrugi 16.04.2019 um 13:37
Hallo Christian
Vielen Dank für die Antwort, jedoch verstehe ich es leider immer noch nicht ganz.
Ich habe diese Definition für das Skalarprodukt in der Vorlesung gefunden.
Nun habe ich so probiert es herzuleiten, dass man bei gram-schmidt durch <v1,v1> teilt, jedoch komme ich immer noch nicht auf die Lösung/Idee...
Ich verstehe leider nicht, wieso man durch die Norm im Quadrat von v1 rechnet. was ja <v1,v1> ist. Oder bin ich falsch?
Hoffe du verstehst mein Problem etwas?
Dies ist ja eigentlich das Ziel bei Gram-Schmidt oder nicht?
Dass man den Projektionsvektor minus Den Vektor v2 in diesm Beispiel rechnet dass er dann orthogonal ist?
Da macht für mich das <v1,v1> leider "noch" keinen Sinn...
Vielen Vielen Dank
Liebe Grüsse
Christian
─ chrugi 15.04.2019 um 21:19