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Hallo,
du möchtest den Wert für \(a\) in der Gleichung \(\pi \displaystyle\int\limits_a^\infty (4e^{-x})^2\, dx=8\pi\) bestimmen. Diese können wir direkt auf beiden Seiten durch \(\pi\) teilen. Es ergibt sich \(\displaystyle\int\limits_a^\infty (4e^{-x})^2\, dx=8\)
Bilden wir zunächst die Stammfunktion des Integranden, so erhalten wir \(\displaystyle\int (4e^{-x})^2\, dx = -8 e^{-2 x}+C\). Schreiben wir die Gleichung um, ergibt sich:
\(\left [-8 e^{-2 x} \right ]_a^{\infty} = 8\)
Für die obere Integrationsgrenze bilden wir den Grenzwert \(\beta\) gegen Unendlich: \(\lim\limits_{\beta \to \infty} -8 e^{-2 \beta}=0\)
Für unsere Gleichung bedeutet dies:
\(\left [0- (-8 e^{-2 a}) \right ]= 8 \Leftrightarrow 8 e^{-2 a} = 8\)
Diese Gleichung gilt es noch zu lösen, um den Wert für die untere Integrationsgrenze zu bestimmen.
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Ganz schön blöd, dass ich erst jetzt bemerke, dass mein CAS es in 1 Sekunde löst. Habe anscheinend was falsches eingegeben. Jetzt bin ich um einiges schlauer. DANKE ─ esra 61 18.04.2019 um 14:37
\(V = \pi \int_c^d (f(x))^2 dx\)
Damit können wir hier arbeiten, indem wir \(c = 0\) und \(d = a\) setzen. Weiterhin ist \(V = 8\pi\). Wenn man die \(\pi\) gleich kürzt sieht das also so aus:
\(int_0^a (4e^{-x})^2\; dx = 8\)
Das kann man nun lösen. Man wird feststellen, dass man letztlich auf das Problem \(e^{kx} = 0\) geworfen wird und es keine Lösung für a gibt. Wenn man allerdings das Problem für \(a\to\infty\) anschaut findet man für obiges Integral die Grenzfläche \(8(\pi)\).
Vllt hilft dir das dennoch schon ein Stück weiter? ;) ─ orthando 18.04.2019 um 13:44