Differenzierbarkeit und Riemann Integral

Aufrufe: 1438     Aktiv: 20.04.2019 um 12:40
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Hallöchen. Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.

Ich soll beweisen, dass f differenzierbar ist aber f' nicht Riemann-integrierbar ist.

Also mit Hilfe des Differenzenquotienten ( h-Methode) kann ich ja beweisen, dass der rechtsseitige Grenzwert

bei 0 liegt und somit ist f in dem Intervall [0,1] differenzierbar, richtig!?

Aber wie genau beweise ich jetzt, dass f' nicht Riemann-integrierbar ist? 

Ansatz: f' ist bei x = 0 nicht definiert, daher bei x = 0 auch nicht stetig?

Ich danke schon mal im Vorraus. 

 

                              x^(3/2) * sin(1/x),   x > 0

f: [0,1] → R; x → {

                              0,                            x = 0

 

f'(x) = (3*sin(1/x)*x - 2*cos(1/x))/2*sqrt(x)

 

 

Grüße

 

GuMbA

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Hallo,

tschuldige das die Antwort so spät kommt. War bis gestern Abend noch im Urlaub.

Mit der Differenzierbarkeit stimmt es schon mal.

Das die Ableitung nicht riemann integrierbar ist, zeigt man am einfachsten, indem man zeigt das die Ableitung nicht beschränkt ist.

Grüße Christian

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Ah okay. Habe jetzt versucht zu zeigen, dass f' nicht beschränkt ist indem ich erst geschaut habe, ob Unstetigkeiten vorhanden sind und mir dann die Grenzwerte angeschaut habe. Allerdings war ich der Meinung, dass Funktionen/Folgen mit Sinus/Cosinus immer Beschränkt sind, laut der Definition der Beiden. Ich komme leider nicht ganz weiter.
Ach und danke natürlich für die Antwort und hoffe du bist gut erholt wieder gekommen.
Grüße
GuMbA   ─   gumba 23.04.2019 um 17:54
Ja Sinus und Kosinus sind selbst natürlich beschränkt. Aber wir haben wir ja eine Komposition von Funktionen. Die Ableitung ist

\( \frac {2 \sin( \frac 1 x ) x - 3 \cos(\frac 1 x ) } {3x^{\frac 4 3 }} \)

Was passiert denn wenn \( x \to 0 \) geht?

Grüße Christian   ─   christian_strack 23.04.2019 um 21:51

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