Hallo,

die erste Ableitung sagt nichts über die Krümmung bzw. Wendepunkte aus.

Dies tut die 2. Ableitung. 

Die Funktion ist an der Stelle \(x_0\) bei \(f''(x_0) < 0 \rightarrow\) konkav und bei \(f''(x_0) > 0 \rightarrow\) konvex.

Hallo, das Krümmungsverhalten berechnest du wie bereits erwähnt, mit der zweiten Ableitung. Dabei gilt Folgendes:

Es sei y=f(x) —> y‘=f ‘(x) —> y“=f“(x)

y‘ beschreibt dann die Tangentensteigung an der Stelle x.

Wenn y‘>0 ist die Steigung positiv und wenn y‘<0 ist die Steigung negativ.

y“ jedoch beschreibt die Krümmung/das Krümmungsverhalten.

Wenn y“>0 dann ist y „linksgekrümmt“ und bei y“<0 „rechtsgekrümmt“ (zumindest an der Stelle x die du untersuchst!).

Wenn jedoch y“=0 so liegt an dieser Stelle ein sog. Wendepunkt vor. D.h. die Kurve geht hier von Rechtskrümmung auf Linkskrümmung über oder umgekehrt. (So ähnlich wie erste Ableitung und Extrema)

Linkskrümmung kannst du dir vorstellen wie einen „lachenden Mund“. Das ist eine Krümmung im mathematisch positiven Sinn (entgegen dem Uhrzeigersinn).

Bsp: f(x)=x^2 , diese Funktion ist durchgehend linksgekrümmt. Leitet man f(x)=x^2 ab so kommt heraus dass f‘(x)= 2x , leitet man das nochmals ab bekommt man die zweite Ableitung die da lautet f“(x)=2 . Bei diesem Beispiel haben wir eine konstante Krümmung nämlich 2. 

Rechtskrümmung ist genau „anders rum“, man könnte sagen ein „trauriger Mund“. Bsp: f(x)=–x^2 , —> f“(x)= - 2.

Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten. Falls etwas unklar ist oder ich etwas falsches erzählt habe bitte fragen oder verbessern! Lg Elijah