Question

Abitur 2016- Aufgabe

Aufrufe: 1176 Aktiv: 30.04.2019 um 21:52

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Es ist eine Funktion h gesucht, deren zweirte Ableitung an der Stelle x=2 eine Nullstelle hat.
Die Stelle x=2 ist aber weder eine Wendestelle noch eine Extremstelle von h.

Das heißt die zweite Ableitung hat an der Stelle x=2 sozusagen einen Sattelpunkt?
Hätte man das auch mit der dritten Ableitung lösen können? Dass man irgendwie eine dritte Ableitung findet, die an der Stelle x=2 0 ist? Dann hätte man die zweite Bedingung für eine Wendestelle nicht erfüllt.

Und warum darf die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel habe an der Stelle x=2? Ich weiß, dass man statt den hinreichenden Bedingungen für Extrem- und Wendestellen, dass Vorzeichenwechselkriterium anwenden kann. Also hier zum Beispiel arbeitet man nicht mit der dritten Ableitung, wie ich gedacht hatte, sondern mit dem Vorzeichen-Wechselkriterium. Ich kann mir das aber nicht visualisieren, was mit der ersten Ableitungsfunktion h' und mit der Funktion h passiert, wenn es ein Vorzeichenwechsel bei h''(2) gibt.

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gefragt 30.04.2019 um 21:52

sv
Punkte: 50

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2 Antworten

christian_strack · Answer 1 · 2019-05-01T13:33:09Z

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Hallo,

nicht ganz. Das bedeutet eher das die erste Ableitung an der Stelle \( x=2 \) einen Sattelpunkt hat. Das bedeutet aber, das wir vor diesem Punkt und nach diesem Punkt das selbe Vorzeichen der Steigung haben müssen. Und genau das ist gleichbedeutend mit der Aussage, das die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle haben darf.

Ja du hast Recht, aber das wurde hier auch im Prinzip gemacht:

Der Teil \( (x-2) \) garantiert die Nullstelle bei \( x=2 \).
Die Potenz \( 2 \) garantiert das diese Nullstelle auch die Nullstelle der Ableitung ist.

Grüße Christian

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geantwortet 01.05.2019 um 13:33

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Warum garantiert die Potenz, dass das auch die Nullstelle der Ableitung ist? Weil es der Funktion eine Parableform gibt? ─ sv 01.05.2019 um 13:54

Ich meinte jetzt in diesem speziellen Fall, da wir nur eine Nullstelle haben \( (x-2) \).
Wenn wir dieses Polynom quadrieren und ableiten haben wir
\( ((x-2)^2 )' = 2(x-2) \)
Hätten wir dem Polynom die Potenz 3 gegeben, so hätte auch die zweite Ableitung davon noch 2 als Nullstelle.
Hätten wir mehrere Nullstellen, geht das nicht mehr so einfach. ─ christian_strack 01.05.2019 um 14:35

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matthies · Answer 2 · 2019-05-01T13:36:44Z

Ein Wendepunkt in h(x) an der Stelle x bedeutet ein Extremum von h'(x) an jener Stelle x. Um einen Wendepunkt nachzuweisen, weist du also eigentlich ein Extremum von h'(x) nach. Die Kriterien für Extrema werden also "eine Ableitung nach unten geschoben". Das bedeutet einerseits, wenn an der Stelle 2 ein Wendepunkt von h(x) vorliegen soll, muss h''(2)=0 und h'''(x) ungleich 0 sein, oder h''(2)=0 und es gibt einen Vorzeichenwechsel von h''(x) an x=2 geben. Die Schwierigkeit besteht zunächst darin, welches Kriterium man wählt. Da es sich nicht um eine Wendestelle von h(x) handeln soll, muss das heißen, dass es keinen Vorzeichenwechsel von h''(x) gibt, oder h'''(2)=0. Ich finde, es ist leichter eine Funktion zu finden, die bei x=2 eine Nullstelle hat, jedoch keinen Vorzeichenwechsel, man kommt dann schnell auf eine Parabel. An der Stelle x=2 soll h''(x) also einen Scheitelpunkt haben. Ansonsten müsstest du h''(x) rekonstruieren, wofür du auch den Grad der Funktion brauchst. Dann müsstest du neben h''(2)=0 und h'''(2)=0 noch ein weiteres Kriterium aufstellen, da du bei einer quadratischen Funktion drei Variablen rekonstruieren musst. Eine Funktion niedrigeren Grades kannst du nicht nehem, da lineare Funktionen an Nullstellen immer Vorzeichenwechsel aufweisen. Ich hoffe ich habe deutlich gemacht, dass das Kriterium mit Vorzeichenwechsel einfacher ist.

Zum Thema Visualisierung kann ich mich dir anschließen, das ist schwer ohne Hilfsmittel. Jedoch machst du dir das nicht leichter, wenn du die dritte Ableitung auch noch ins Spiel bringst, außerdem kann man sich hier meiner Meinung nach auch ganz gut ohne Visualisierung an den Vorgaben langhangeln.

Hoffe ich konnte dir helfen :)