Question

Gleichungssystem in zwei Variablen lösen - Variablen abhängig voneinander

Aufrufe: 859 Aktiv: 07.05.2019 um 19:19

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Hallo!

Ich versuche mich gerade daran, die Extrema einer Funktion in zwei Variablen zu bestimmen. Der Ablauf ist mir eigentlich klar, und bei den meisten Aufgaben komme ich auch zurecht.

Jedoch habe ich immerwieder Probleme, Gleichungssysteme wie folgendes zu lösen:

Mein konkretes Problem liegt darin, dass ich schlussendlich ja Punkte möchte, an welchen sich die Extrema bedinden, doch weiß ich nie, welche x und y nun zu einem Punkt gehören. Zudem habe ich schwierigkeiten damit, dass manchmal kein konkreter Wert für eine Variable herauskommt, sondern diese von einer anderen abhängig ist. Wie verfahre ich bei einem solchen ergebnis?

Die erste Gleichung habe ich wie folgt aufgelöst:

Jetzt habe ich x=0 in die zweite gleichung eingesetzt:

Doch was mache ich jetzt? Und wocher weiß ich am ende, welche x zu welchen y gehören?

Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen und mich aufklären.

Vielen Dank!

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gefragt 07.05.2019 um 19:19

mathebob42
Student, Punkte: 21

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1 Antwort

christian_strack · Accepted Answer · 2019-05-08T16:00:40Z

Hallo,

du hast das Gleichungssystem schon mal gut zusammengefasst. Es ergeben sich aus den Gleichungen also die Möglichkeiten

\( x=0 \lor x^2 + y^2 = 1 \\ y=0 \lor x^2 + y^2 = 1 \)

Nun müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Wählen wir \( x=0 \) gucken wir in unsere zweite Gleichung was für \( y \) gelten muss damit diese Gleichung auch erfüllt wird.

\( P(0|0) \) erfüllt beide Gleichungen.
\( x^2 + y^2 = 1 \) steht für eine Kreisgleichung mit dem Radius \( 1 \). Gilt \( x=0 \) so muss für \( y= \pm 1 \) gelten. Das ganze können wir auch noch umdrehen, also \( y=0 \land x = \pm 1 \).

Nun haben wir aber in beiden Gleichungen die Kreisgleichung. Also sind alle Punkte die auf diesem Kreis liegen kritische Punkte. Wir erhalten also als Lösung

\( P(0|0) \lor x^2 + y^2 = 1 \)

Grüße Christian