Hallo,

Monotonie: 

\(K'(x)=0 \Rightarrow L=\emptyset\)

Da \(\lim\limits_{x\to \infty}K(x)=\infty\) bzw. \(K'(a) > 0\;\; (a\in \mathbb{R})\) gegeben ist, ist \(K\) auf \(]0;12[\) streng monoton wachsend.

Geringste Grenzkosten:

\(K^{(2)}(x)=0 \rightarrow x_1=4 \longrightarrow K^{(3)}(4) > 0\), somit liegt bei \(x=4\) ein Grenzkostenminimum vor. 

Progressive Kosten:

Wir wissen bereits, dass bei \(x=4\) eine Wendestelle für \(K(x)\) existiert.

Da außerdem \(K^{(3)}(4) > 0\) gilt, existiert ein rechts-links-WP.  Somit sind die Kosten auf \(]4;12[\) progressiv.

K ist streng monoton steigend, wenn K'(x) zwischen 0 und 12 nicht negativ oder 0 ist.

\( K'(x)=3x^2-24x+60 \)

Berechne hierfür die Nullstellen \(K'(x)=0 \)

\( x^2-8x+20=0 \)

Hier stellen wir fest, das nach pq Formel K'(x) keine Nullstellen hat, jetzt setzt du noch ein x ein, z.B. x=0 und erhalte \( 0^2-8*0+20=20 \) also ist die Steigung positiv, die Funktion also streng monoton steigend.