Hallo,

bei deinem Konvergenzradius sollte keine Abhängigkeit von \( z \) auftreten, da er ja beschreibt in welchem Bereich für \(z \) die Reihe konvergiert.

Für a) würde ich die Formel von Cauchy-Hadamard benutzen.

\( r= \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} \\ \Rightarrow r = \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ (1 + \frac 1 n )^{-n^2}}} = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} (1+ \frac 1 n ) ^{-n} } \)

Nun wollen wir wissen, was der größte Häufungspunkt von \( (1+ \frac 1 n )^-n \) ist. Diese Folge konvergiert sogar und ist eine der berühmtesten Folgen. Kennst du den Grenzwert? 

Zur b) 

Für den Konvergenzradius brauchen wir eine Reihe der Form 

\( \sum_{k=1} a_k z^k \). 

Wir müssen also unsere Folge \( a_n \) so anpassen, das wir \( z^k \) erhalten. 

Man nennt eine Reihe Lückenreihe. wenn in unsere Reihe unendliche viele Summanden Null sind. Das haben wir auch, da 

\( \sum_{n=1} \frac {(-4)^n} {n} z^{4n} = 0 z^1 + 0 z^2 + 0 z^3 + \frac {-4} 1 z^4 + 0 z^5 + 0 z^6 + 0 z^7 + \frac {(-4)^2} 2 z^8 + 0 z^9 + \ldots \)

Das liegt an dem Exponenten von \( z \). Nun basteln wir eine neue Folge 

\( a_k = \left\{ \begin{matrix} \frac {(-4)^{\frac k 4}} {\frac k 4 } \ , \ \text{für } k =4n , \text{mit } n \in \mathbb{N} \\ 0 \ , \ \text{sonst} \end{matrix} \right. \)

Nun haben wir eine Reihe der Form \( \sum_{k=4}^{\infty} a_k z^k \) die äquivalent ist zu unserer ersten. 

Kannst du von der Folge nun die Häufungspunkte bestimmen?

Diesen Gedanken können wir aber auch in der Formel von Cauchy-Hadamard direkt darstellen.

Normalerweise ziehen wir in der Formel die n-te Wurzel. Nun ziehen wir einfach die 4n-te Wurzel, also

\( r = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[4n]{\vert a_n \vert} } \)

Genau um die Konvergenz auf dem Rand zu überprüfen, musst du den Rand einsetzen und einzelnd nochmal überprüfen.

Grüße Christian

Die a) ist mit Cauchy-Hadamard lösbar:

r=limsup(abs(a_n)^(-1/n))

a_n = (1+1/n)^(-n^2)

r=limsup(abs((1+1/n)^(-n^2))^(-1/n))

=limsup(abs((1+1/n)^n)))

=limsup((1+1/n)^n)

=lim((1+1/n)^n) = e

Den Betrag (abs) kan  man ignorieren, da der Term für jedes n größer als Null ist.

Oh ich habe das Minus übersehen bei der a). Ich habe es in meinem letzten Post editiert. Dadurch erhalten wir \( r= e \).

Zur b)

einen Häufungspunkt haben wir durch die Aufteilung sofort gefunden. Nämlich die Null. Nun gucken wir uns 

\( \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\vert \frac {(-4)^{\frac k 4}} {\frac k 4} \vert } = \limsup_{k \to \infty} \vert \frac {(-4)^{\frac 1 4}} {(\frac k 4)^{\frac 1 {k}}} \vert = \limsup_{k \to \infty} \vert \frac {\sqrt[4]{-4}} {\sqrt[k]{\frac k 4}} \vert \)

Kommst du von hier weiter?

Grüße Christian