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Hallo,
ohne Rechenweg finden wir den Fehler auch nicht. Ich erhalte allerdings für die dritte Zeile auch nicht \(20t=0\), sondern \(-8.6t=0\). Vielleicht hat Daniel aber auch anders gerechnet.
Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen ist, dass in diesem Beispiel nur eine Lösung existiert (der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der erweiterten), da in der letzten Zeile die Form \(at=b\), mit \(a \in \mathbb{R}^*\) auftritt, wohingegen \(0t=0\) auf unendlich viele Lösungen hindeutet (Komplanarität) (Rang ist kleiner als die Anzahl der Unbekannten).
Im Übrigen ließe sich die Komplanarität im \(\mathbb{R}^3\) auch mit dem Spatprodukt überprüfen. Wenn das Spatprodukt aus drei Vektoren (bzw. ihre Determinante) null ist, so sind diese komplanar.
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Weil durch das Kreuzprodukt bekomme ich ja einen Vektor n der othogonal zu zum Beispiel den Vektoren a und b liegt. Wenn ich dann das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt n der beiden und dem dritten Vektor c berechne und dieses Null ergibt liegen besteht hier ja wieder ein rechter Winkel und sie liegen in einer Ebene. Wenn der dritte Vektor c zwar in einem rechten Winkel zu Vektor n liegt, allerdings von der z Koordinate bspw. höher als die Vektoren a und b, liegen sie ja nicht in einer Ebene, aber dann würde das Spatprodukt auch nicht 0 ergeben oder? ─ biene0598 01.06.2019 um 11:06
Wenn du zwei Vektoren gleich einem dritten setzt, so existiert genau eine Lösung, wenn sie komplanar sind, und keine, wenn sie es nicht sind.
Hier ( https://www.geogebra.org/3d/jzkatare ) kann man erkennen, dass die blauen Vektoren nicht komplanar und die gelben komplanar sind. Es gibt keine Linearkombination (außer dem NV), sodass wieder der Nullvektor resultiert.
"Im zweiten Schritt -> 2,5*[3] - 4* [2] || So komme ich auf (0 0 -9,5/ 0)" Ich erhalte ( 7.5 | 0 | -9.5 || 0)"
" ist es dann prinzipiell egal aus welchen beiden ich das Kreuzprodukt bilde" Ja, die Reihenfolge ist irrelevant. Ein nicht zyklisches Vertauschen würde nur ein Vorzeichenwechsel bewirken, das bei '0' jedoch egal ist.
"allerdings von der z Koordinate bspw. höher als die Vektoren a und b" Ein Verändern der z-Koordinate kann auch eine Winkelveränderung verursachen. ─ maccheroni_konstante 01.06.2019 um 14:30
Das heißt ich habe im Fall 20t=0 nur eine Lösung, weil t in diesem Fall nur null sein kann?
Und bei 0t=0 kann mein t sämtliche Werte annehmen, da es durch den Koeffizienten 0 ohnehin zu Null wird?
Ich verstehe noch nicht so ganz, wieso 0t=0 für die Komplanarität spricht. Wie kann ich mir dies eventuell bildlich vorstellen? Weil Komplanarität bedeutet ja, dass die Vektoren aus denen die Matrix besteht alle in einer Ebene liegen.
Und zu meinem Rechenweg:
Im ersten Schritt -> [2] - 1/2*[1]
So komme ich auf die Zeile (0 2,5 3/ 0)
Im zweiten Schritt -> 2,5*[3] - 4* [2]
So komme ich auf (0 0 -9,5/ 0)
Die Zahlen in [] sollen die Zeilen darstellen. ─ biene0598 01.06.2019 um 10:58