Am Besten machst du dir gleich bewusst, dass wir es hier mit einer Summe zu tun haben. Nach den Regeln kannst du jeden Summanden separat ableiten.
\(g(x) = 4x\cdot \ln(x)\)
Produktregel
\(g'(x) = 4\cdot \ln(x) + 4x\cdot\frac1x = 4\ln(x) + 4\)
\(h(x) = x\ln(x)^2\)
Produkt- und Kettenregel
\(h'(x) = \ln(x)^2 + x\cdot2\ln(x)\cdot\frac1x = \ln(x)^2 + 2\ln(x)\)
(Beachte bei der Ableitung von \(\ln(x)^2\), dass wir bei der Ableitung haben \(2\ln(x)\cdot(\ln(x))'\), also die innere Ableitung (Kettenregel))
\(i(x) = 4x\)
\(i'(x) = 4\)
Das nun alles zusammenfassen:
\(f(x) = g(x) - h(x) - i(x)\)
\(f'(x) = g'(x) - h'(x) - i'(x)\)
\(f'(x) = 4\ln(x) + 4 - (\ln(x)^2 + 2\ln(x)) - 4\)
\(f'(x) = -\ln(x)^2 + 2\ln(x) \)
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