Hallo!

Man kann da nicht ohne weiteres eine Substitution machen. Höchstens umschreiben, eine Nullstelle erraten und dann Polynomdivision durchführen. Anbieten würde sich natürlich immer noch ein numerisches Verfahren.

Anmerkung: Deine Funktion besitzt nicht einmal Nullstellen - also in \(\displaystyle \mathbb{R}\) nicht … Schau Dir mal den Plot an!

https://imgur.com/u9CHm4b

Nachtrag: Man erhält:

\(\displaystyle f'(x) = x^3 - x^2 = x^2(x-1) \).

Weiter gilt:

\(\displaystyle f'(x) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{1,2} = 0,1 \).

Aber es ist \(\displaystyle f(1) < f(0) \) und daher, wie schon erwähnt, ein globales Minimum (idem est \(\displaystyle \big(1,f(1)\big) \)). Hochpunkte besitzt die Funktion keine, denn es gilt weiter:

\(\displaystyle f''(x_{1,2}) \geq 0 \).

Gruß.

Oh! Ich hab die Aufgabenstellung falsch gelesen!🙄 Ich muss Hoch-und Tiefpunkte bestimmen. Wenn ich davon die erste Ableitung nehme muss ich doch nur noch ausklammern und dann hab ich die Nullstellen oder?

Hallo,

substituieren funktioniert nur, wenn ausschließlich gerade Exponenten vorkommen, also z.B. \(x^6, x^4 x^2\).

Ausklammern funktioniert aufgrund des konstanten Glieds (4) auch nicht. 
PD entfällt auch, und ein approximatives Verfahren wird dir auch keine Lösung bringen.

Bilden wir \(f'(x)\) und suchen hiervon die Nullstellen, so erkennt man, dass ein Minimum bei x=1 existiert.

Da \(\lim\limits_{x \to \pm \infty}=\infty\) und \(f(1) > 0\) gilt, stellt \(x=1\) das globale Minimum dar und \(f\) besitzt folglich auf \(\mathbb{R}\) keine Nullstellen.

Für die lok. Extrema kannst du ausklammern: \(f'(x)=x^3-x^2 = x^2(x-1)\) und dann mit dem Satz vom Nullprodukt weiter.