Hallo,

nach der Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts entsteht die Funktionsgleichung

\(g(x-2)=g^*(x)=\dfrac{1}{4} \left (x^4 - 8 x^3 + 16 x^2 - 6 x + 4 \right )\).

Nun müssen die zwei Berührstellen ermittelt werden. Subtrahiert man beide Funktionen voneinander, so erhält man \(\left [ g^*(x)+a\right ]-t(x)=h(x)=\dfrac{x^4}{4} - 2 x^3 + 4 x^2 + 3 +a = 0\). Nun muss der Parameter so gewählt werden, dass lediglich zwei Nullstellen existieren. Wählt man \(a=-3\), so entfällt das konstante Glied, und es verbleibt \(\dfrac{x^4}{4} - 2 x^3 + 4 x^2=0\), wobei je zwei doppelte Nullstellen existieren.

Also lautet die finale Funktion \(\dfrac{1}{4} \left (x^4 - 8 x^3 + 16 x^2 - 6 x + 4 \right ) -3 \).

Rein rechnerisch (händisch etwas kompliziert), würden die Lösungen für \(h\) nach \(x\) aufgelöst in der Wurzel immer einen Term mit \(\sqrt{-a-3}\) erhalten. Somit wird dieser für \(a=-3\) null und eliminiert die Wurzel, weshalb die zwei Nullstellen zusammenfallen und \(x_{1,2}=2,\, x_{3,4}=-2\) ergeben:

\(x_1=2+\sqrt{\vphantom{\sum} 4-2\sqrt{-a-3}}\\
x_2=-2+\sqrt{\vphantom{\sum}4-2\sqrt{-a-3}} \\
x_3=2+\sqrt{\vphantom{\sum}4+2\sqrt{-a-3}}\\
x_4=2-\sqrt{\vphantom{\sum}4+2\sqrt{-a-3}}\)

Eine andere, möglicherweise elegantere Möglichkeit ist so zu argumentieren, dass die Gerade eine Steigung von \(m=-1.5\) besitzt. Verschiebt man die Polynomfunktion nun um 2 LE nach rechts, so befindet sich der Graph der Geraden um \(-1.5 \cdot 2 = -3\) LE auf der y-Achse weiter unten. Folglich muss man den Graph der Funktion \(g^*(x)\) auch um 3 LE nach unten verschieben, weshalb \(g^*(x)-3\) die korrekte Funktion ist.