Hallo,

du hast zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\), deren Schnittpunkt du berechnen sollst.

Die Geraden lauten:

\(g_1=\binom{-1}{1}+k_1\cdot\binom{1}{1}\) und

\(g_2=\binom{4}{2}+k_2\cdot\binom{1}{-1}\).

Wenn du den Schnittpunkt bestimmen willst, dann musst du den ersten Eintrag der Vektoren und den zweiten Eintrag der Vektoren gleichsetzen. Das führt dich zu folgenden Gleichungen:

\(-1+k_1\cdot 1 = 4 +k_2\cdot 1\) und

\(1+k_1\cdot 1 = 2 +k_2\cdot -1\).

Jetzt hast du ein LGS mit zwei Gleichungen und kannst nach \(k_1\) und \(k_2\) auflösen.

Danach kannst du \(k_1\) oder \(k_2\) einsetzen und erhälst den Schnittpunkt! :)

Falls du die Lösung brauchst, einfach makieren :)

Aufgelöst ergibt sich:

\(k_1=5+k_2\) aus der ersten Gleichung.

Das kannst du in die zweite Gleichung einsetzen:
\(1+5+k_2=2-k_2\)

und umformen:

\(2\cdot k_2=-4\)

Somit gilt \(k_2 = -2\) und es folgt direkt \(k_1=3\)

Somit ist der Schnittpunkt, egal welches \(k\) du einsetzt: \(\binom{2}{4}\)

Gleichsetzen kannst du?

\(g_1 \cap g_2: \begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 2\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix} \\
\Leftrightarrow k_1\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}-k_2\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\ 1\end{pmatrix} \)

Also ergibt sich:

\(I: k_1-k_2=5 \\
II: k_1+k_2=1\)

Dieses LGS nach dem präferierten Verfahren lösen; es ergibt sich \(L=\{(3,-2)\}\)