"Ableitungen überprüfen"

ableitungsrechner.de

Die ersten zwei Ableitungen stimmen aber.

"y-Werte ausrechnen (die Werte habe ich in die Funktion eingesetzt, jedoch komme ich nicht weiter)"

\(f\left(\frac{1}{k}\right) = \dfrac{1}{k}\cdot e^{-k\cdot \frac{1}{k}} = \dfrac{1}{k}\cdot e^{-1} = \dfrac{1}{ek}\)

\(f\left(\frac{2}{k}\right) = \dfrac{2}{k}\cdot e^{-k\cdot \frac{2}{k}} = \dfrac{2}{k}\cdot e^{-2} = \dfrac{2}{e^2 k}\)

"Soweit ich weiß, hat die Funktionenschar den Wendepunkt mit Recht-Links-Krümmung"

Dritte Ableitung ist falsch.

\(f^{(3)}(x)=k^2 \left (-e^{-k x}\right) (k x - 3)\)

Eingesetzt ergibt es \(f^{(3)}\left(\frac{2}{k}\right) =\dfrac{k^2}{e^2} > 0, \;\; \forall k \neq 0\), also existiert eine RL Krümmung.

Kurvendiskussion auch hier berechenbar:

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion
https://www.mathepower.com/kurvendiskussion.php