Für den Definitionsbereich könnten Einschränkungen bei der Wurzel auftreten. Das Argument von dieser darf nicht negativ sein.

Es muss also gelten \(1+2x \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq -1 \Leftrightarrow x \geq -0.5\)

Somit lautet der Definitionsbereich \(D_f=\{x\in \mathbb{R} \,\vert\, x \geq -0.5\}\).

Wieso nutzt du die Quotientenregel? Multiplikation mithilfe der Produktregel:

\(\begin{equation}\begin{split}
f'(x)&=\left [ x-1 \right ]' \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \left [ \sqrt{1+2x} \right ]' \\
&= 1 \cdot \sqrt{1+2x} + (x-1) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=  \sqrt{1+2x} + \dfrac{x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&= \dfrac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2x}} + \dfrac{x-1}{\sqrt{1+2x}}\\
&= \dfrac{\sqrt{1+2x}\cdot \sqrt{1+2x} + x-1}{\sqrt{1+2x}} \\
&=\dfrac{3x}{\sqrt{1+2x}}
\end{split}\end{equation}\)

(auf das Rationalisieren verzichte ich mal)