Welche Hilfsmittel sind erlaubt?

Da hier nicht nach "mindestens eine / einmal / etc." gefragt ist, ist das Vorgehen nicht ganz so einfach.

Sei \(X\) die Anzahl funktionierender Sensoren.
Gesucht ist \(P(X \geq 5) \geq 0.88\).

Dies ließe sich mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit noch zu \(1-P(X\leq 4)\geq 0.88 \Leftrightarrow P(X\leq 4) \leq 0.12\) umformen. 

Als Summe stünde dort \(\displaystyle\sum\limits_{i=5}^n \displaystyle\binom{n}{i}\cdot 0.9^i\cdot 0.1^{n-i} \geq 0.88 \Leftrightarrow \displaystyle\sum\limits_{i=0}^4 \displaystyle\binom{n}{i}\cdot 0.9^i\cdot 0.1^{n-i} \leq 0.12\)

Daraus folgt \(n\geq \lceil 5.965 \rceil = 6\)

Entweder man benutzt dafür einen CAS und lässt diesen rechnen, eine andere Möglichkeit wäre eine Wertetabelle mit verschiedenen n-Werten, wobei man nachschaut, bis man den geringsten Wert dafür findet (raten) bzw. über eine kumulierte Wertetabelle.

Hier bietet sich aber der Lösungsweg von dreszig an, zumal die Werte bereits in der Aufgabe gegeben sind.

In unsere Klausur sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt, deshalb war unter dem Aufgabentext auch die Werte der verschiedenen Potenzen von 0,9 gegeben.
Die Aufgabe ist aus einer Altklausur, welche ebenfalls ohne Hilfsmittel zu lösen war.

Gibt es noch einen anderen Lösungsweg?

Sei bei mir \( Y \) die Anzahl der funktionierenden Sensoren. Offenbar ist das zu betrachtende Zufallsexperiment dann \( B(n; 0.9) \)-verteilt. Es soll gelten: \( P(Y \geq 5) \geq 0.88 \).

Nun probieren wir durch:

• Sei \( n = 5: \) Die Zufallsgröße \( Y \) ist dann \( B(5;0.9) \)-verteilt. Man berechne: $$ P(Y \geq 5) = P(Y=5) = \binom{5}{5} \cdot 0.9^5 \cdot 0.1^0 = 0.59049, $$ was offenbar nicht "genug" ist.
• Sei nun \( n = 6: \) Die Zufallsgröße \( Y \) ist dann \( B(6;0.9) \)-verteilt. Man berechne: $$P(Y \geq 5) = P(Y=5) + P(Y=6) = \binom{6}{5} \cdot 0.9^5 \cdot 0.1^1 +  \binom{6}{6} \cdot 0.9^6 \cdot 0.1^0 \\ = 6 \cdot 0.9^5 \cdot 0.1 + 0.9^6 = 0.885735 $$ was nun offenbar stimmt.

Der Lösungsweg erscheint mir offensichtlicher.