Hallo Miriam,

diese Aufgabe lässt sich Schritt für Schritt lösen. Gerade die Tipps nach der Definition der Funktion sind Gold wert. \(f_X\) soll stetig sein. Wunderbar, dann schauen wir uns mal die einzelnen Intervalle. Offenbar ist jeder Bereich in sich stetig (als Verknüpfung stetiger Funktionen), jedoch haben wir Grenzen, die betrachtet werden müssen. Stelle also zunächst sicher, ob \(0 = 2 \cdot 0 - 0^2 \) gilt. Wenn ja, ist dieser Übergang schon mal stetig. Dann muss noch der Übergang an Stelle \( x=1 \) stetig sein. Hierfür überprüfen wir die Gleichheit von \(2 \cdot 1 - 1^2 = a\cdot 1+b \). Dies können wir machen, obwohl \(ax+b\) nicht für \(x=1\) definiert ist, aber eine Gerade darstellt. Somit sparen wir uns die Grenzwertbetrachtungen - in einer umfangreicheren Hausarbeit aber bestimmt gern gesehen. Auf jeden Fall erhältst du hierdurch schon eine erste Bedingung: \(a+b=1\).

In einem zweiten Schritt soll gelten: $$ \int_{\mathbb{R}} f_X (x) \text{ d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f_X (x) \text{ d}x = 1.$$ Dies beziehen wir auf die einzelnen Teilbereiche, die offenbar integrierbar sind. Es gilt: $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f_X (x) \text{ d}x &= \int_{-\infty}^0 0 \text{ d}x &+ \int_0^1 2x-x^2 \text{ d}x &+ \int_1^c ax+b \text{ d}x &+ \int_{c}^{\infty} 0 \text{ d}x \\ &= 0 &+ \int_0^1 2x-x^2 \text{ d}x &+ \int_1^c ax+b \text{ d}x &+ 0 = 1. \end{align} $$

Versuche das nun zu berechnen und weitere Bedigungen bzw. eine eindeutige Lösung zu finden.

Zum einen muss die Funktion stetig sein. Die "Sprungstelle" ist hier zum einen \(x=1\), wobei die erste Teilfunktion den Wert \(2\cdot 1 -1^2 = 1\) annimmt. Folglich lautet die erste Bedingung \(a\cdot 1 +b =1 \Leftrightarrow a+b=1\). Die zweite ist bei \(x=c\) und es muss gelten \(2\cdot c +b=0\)

Daraus ergibt sich vereinfacht \(f(x)=\begin{cases} 2x-x^2&0\leq x \leq 1 \\(1-b)x+b&1<x\leq c\\0 &\mathrm{sonst}\end{cases}\)

Nun muss das Integral \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\, dx\) den Wert eins annehmen. 

Der Wert der ersten Teilfunktion ist \(\displaystyle\int\limits_0^1 [2x-x^2]\, dx = \dfrac{2}{3}\)

Für die andere Teilfunktion ergibt sich in Abhängigkeit von \(b,\: c\)

\(\displaystyle\int\limits_{1}^{c}[(1-b)x+b]\, dx = -\dfrac{(c - 1) (b (c - 1) - c - 1)}{2}\).

Nun hat man alle drei Bedingungen

\(I: a+b=1\\
II: ac=-b\\
III: -\dfrac{(c - 1) (b (c - 1) - c - 1)}{2} = \dfrac{1}{3}\)

Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man die Parameterwerte.

Plot der Dichtefunktion:

Vielen Dank für Eure schnelle Hilfe. Ich werde dies anwenden und euch mein Ergebnis mitteilen :-)