Da ein linksseitiger H-Test vorliegt, gilt \(H_0:p_0\geq p,\: H_1:p_1< p\).
Hier also mit \(p = 0.65\).

Die Daten im Überblick:

Sei \(X\) die zu testende Größe. Ferner gilt \(X \stackrel{H_0}{\sim} B(n,p),\; X\stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma)\).

\(n=500,\\
p=0.65, \\
\mu = 325,\\
\sigma = \sqrt{113.75},\\
\alpha = 0.05\)

Nun ist derjenige kritische Wert \(\zeta\) gesucht, für den noch \(P(X\leq \zeta) \leq \alpha\) gilt.
Bei einem rechtsseitigen Wert wäre \(P(X \geq \zeta) \leq \alpha \Leftrightarrow P(X \leq \zeta-1) \geq 1-\alpha\) gesucht.

Z.B. über die inv. Normalverteilung erhält man den Wert \(\zeta \approx 307.5\), durch Nachprüfen mit der BV ergibt sich \(\zeta = 306\) als kritischer Wert und somit für den Ablehnungsbereich der \(H_0\)-Hypothese: \(\overline{A}=\{0,...,306\}\). 

"Entsprechen müsste die Gegenhypothese \(H_1:p_1<0.65\) sein, oder?"

Ja, wo nutzt Daniel denn \(\leq\) anstatt < für \(H_1\)?

"Warum hat Daniel ein + 0,5 hier auf dem Bruchstrich stehen"

Er nutzt die Stetigkeitskorrektur.

\(P(a \leq X \leq b) \Rightarrow P(a -0.5 \leq X \leq b+0.5)\)

Da hier allerdings von null kumuliert wird, spart man sich den linken Teil.

\(P(X \leq b+0.5)\)

Also ich komme auch auf k = 307, aber glaube auf einen anderen Weg. Wo liegt hier der Unterschied?

Habe die gleichen Lageparameter und die gleichen Hypothesen

\(H_{0} \: : \: p_{0} \ge 0.65 \)

\(H_{1} \: : \: p_{1} < 0.65 \)

Nun nehme ich \(H_{1} \) und sage:

\( P ( X < k) \le 0.05 \)  

\( \Phi (\frac {k - \mu - 0.5} {\sigma}) \le 0.05 \)

Da es die \( 0.05 \) in der Sigma - Tabelle nicht gibt wandel ich 0,05 zu \( \Phi (1-0.05) \rightarrow (- \Phi (0.95)) \) um und kann dann den Wert für 0,95 (1,654) aus der Tabelle ablesen. Diesen setzte ich dann auf der rechten Seite ein.

\( \frac {k - \mu - 0.5} {\sigma} \le - 1.645 \)

Stelle nun nach k um:

\( k \le - 1.645 * \sigma + \mu + 0.5\)

\( k \le - 1.645 * \sqrt{113.75} + 325 + 0.5\)

\( k \le 307,9555 \)

Den Wert runde ich ab. 

\( k = 307 \)

Nun definiere ich meinen Ablehnungs- und Annahmebereich für  \( H_{0} \).

\( \bar{A} = \{0 ; ... ; k-1\} \to \bar{A} = \{0 ; ... ; 306 \} \)

\( A = \{k; ... ; n\} \to A = \{307; ... ; n\} \)

Was mache ich im Gegensatz zu Dir anderes, bzw. mache ich was falsch?