"Der Grenzwert von 1/n bei n gegen unendlich muss doch 0 sein oder ?"

Stimmt, ja.

Für Teleskopreihen mit "offener" oberer Grenze (also Unendlich), falls \(a_n \to 0\) erfüllt ist, gilt: 

$$\displaystyle\sum\limits_{n=k}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_k$$

bzw. hier:

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_1$$

\(a_n\) lautet hier \(-\dfrac{1}{n}\), ferner ist \(a_n \to 0\) erfüllt.
\(a_{n+1}\) ist \(-\dfrac{1}{n+1}\) (so wurde die Funktion auch aufgeteilt).

Also lautet der Grenzwert \(a_k=a_1=-\left (-\dfrac{1}{1}\right) = -(-1) = 1\).

I.Ü. gilt \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+k)} =\dfrac{H_k}{k}\) für \(k\in\mathbb{N}\), wobei \(H_k\) die k-te Harmonische Zahl darstellt.