Hallo,

die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung stellt sich aus der Summe der homogenen Lösung und der partikulären Lösung zusammen. 

\( y(x) = y_{hom}(x) + y_p(x) \)

Du musst also zuerst die homogene Lösung berechnen. 

\( y'' + 2y' +y = 0 \)

Hier bietet sich der Exponentialansatz an. Ist dir klar wie dieser funktioniert? Ist dir klar warum dieser Ansatz sich hier anbietet?

Nun müssen wir noch die partikuläre Lösung bestimmen. 
Diese Lösung kann über Variation der Konstanten oder über spezielle Lösungsansätze bestimmt werden. 

Variation der Konstanten ist hier ein großer Rechenaufwand. Ich denke hier sollt ihr über bestimmte Lösungsansätze die partikuläre Lösung bestimmen. Dafür gibt es Listen wie diese. 
Kommst du damit klar?

Grüße Christian

Bestimme erst die homogene Lösung, dann schau dir den partikulären Teil an.

Homogener Teil:

Mit dem charakteristischen Polynom kommst du auf:

\(x^2+2x+1 = 0\)

\((x+1)^2 = 0\)

\(x_{1,2} = -1\)

--> \(y_h = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x}\)

Partikulärer Teil

Für den partikulären Teil wähle den Rechte-Seite-Ansatz \(y = ax^2+bx+c\)

Damit \(y' = 2ax + b\) und \(y'' = 2a\).

Einsetzen in die Ursprungsgleichung:

\(2a + 2\cdot(2ax+b) + ax^2+bx+c = x^2\)

Koeffizientenvergleich liefert:

\(a = 1\)

\(b = -4\)

\(c = 6\)

Es ergibt sich also:

\(y = y_{h} + y_p = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + x^2-4x+6\)

Die Anfangsbedingungen und damit die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) überlasse ich dir.