Hallo,

\( (2x-1)^2 = 8 - (2x+1)^2 \)

Wir wenden nun sowohl die erste (rechte Seite der Gleichung) als auch die zweite (linke Seite der Gleichung) binomische Formel an.

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\( (2x-1)^2 = 8 - (2x+1)^2 \\ \Rightarrow 4x^2 - 4x +1 = 8 - (4x^2 + 4x + 1) \)

Nun klammern wir die rechte Seite aus und fassen sie zusammen.

\( 4x^2 - 4x +1 = 8 - (4x^2 + 4x + 1) \\ \Rightarrow 4x^2 - 4x +1 = 8 - 4x^2 - 4x - 1 \\ \Rightarrow 4x^2 - 4x +1 = - 4x^2 - 2x + 7 \)

Jetzt bringen wir noch alles auf eine Seite der Gleichung 

\( 4x^2 - 4x +1 = - 4x^2 - 4x + 7 \quad \vert + 4x^2 \ \vert +4x \ \vert -7 \\ \Rightarrow 8x^2 + 0x - 6 = 0 \) 

Wir teilen durch den Vorfaktor von \(x^2 \)

\( 8x^2  - 6 = 0 \\ \Rightarrow x^2 - \frac 3 4 = 0 \)

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung die wir lösen können, indem wir nach \( x \) umstellen.

\( x^2 - \frac 3 4 = 0 \ \vert + \frac 3 4 \\ x^2 = \frac 3 4 \ \vert \sqrt{} \\ x = \pm \sqrt{\frac 3 4} \)

Grüße Christian

Hallo kr,

mit dem Minus vor der ersten Klammer ist das alles einfacher. Ich komme dann auf folgendes:

\begin{array}{rcll}
-(2x-1)^{2} & = & 8-(2x+1)^{2} & |+(2x+1)^{2}\\
-(2x-1)^{2}+(2x+1)^{2} & = & 8 & |\textrm{Summanden umstellen}\\
(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2} & = & 8 & |\textrm{Binomische Formeln}\\
(4x^{2}+4x+1)-(4x^{2}-4x+1) & = & 8 & |\textrm{Klammern auflösen}\\
4x^{2}+4x+1-4x^{2}+4x-1 & = & 8 & |\textrm{Summanden umstellen}\\
4x^{2}-4x^{2}+1-1+4x+4x & = & 8 & |\textrm{Linke Seite ausrechen}\\
8x & = & 8 & |\cdot\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 8}}\\
x & = & 1
\end{array}

Noch ein Wort zu der ursprünglich von Christian gepostetenen Lösung, die sich auf

$$(2x-1)^{2} = 8-(2x+1)^{2}$$

bezog. Da kam es ja an einer Stelle zu diesem Ausdruck:

$$x^2=\frac{3}{4}$$

Wie löst Du das? Im Grunde genommen geht es dabei um die Frage: welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(\frac{3}{4}\)? Nun, es sind zwei, eine negative und eine positive. Mathematisch gehst Du da so vor, dass Du zunächst auf beiden Seiten die Wurzel ziehst. Dann hast Du \(|x|=\sqrt{\frac{3}{4}}\) . \(|x|\) ist der Betrag von \(x\). Das ist immer eine positive Zahl, auch wenn die Zahl zwischen den Betragsstrichen negativ sein sollte. Wenn also der Betrag von \(x\) gleich \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) ist, dann kann der Wert, der zwischen den Betragsstrichen steht, entweder \(\sqrt{\frac{3}{4}}\) oder \(-\sqrt{\frac{3}{4}}\) sein. Diese beiden Werte sind Deine beiden Lösungen, also \(x_{1}\) und \(x_{2}\). Wenn Du also ganz genau sein willst, dann schreibst Du:

\begin{array}{rcll}
x^{2} & = & \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}} & |\sqrt{\,}\\
|x| & = & \sqrt{\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}} & |\textrm{Betrag auflösen}\\
x_{1} & = & \sqrt{\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}}\\
x_{2} & = & -\sqrt{\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}}
\end{array}

Die Schreibweise von Christian ist nicht falsch. Es nur eine Abkürzung für das, was ich hier ausführlich aufgeschrieben habe.

Viele Grüße
jake2042