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Hallo,
wenn ihr noch nichts weiteres zu Stetigkeit gemacht habt, dann musst du wohl auf die Definition zurück greifen.
\( \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \forall x \in D : \vert x - x_0 \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon \)
Nun gilt \( f(x) = x \ln(x) - ax \). Setzen wir das ein erhalten wir
\( \vert x \ln(x) - ax - (x_0 \ln(x_0) - a x_0) \vert = \vert x \ln(x) - x_0 \ln( x_0) -a(x-x_0) \vert \)
Jetzt kannst du den linearen Anteil von dem logarithmischen trennen durch die Dreiecksungleichung. Dieser kann dann durch \( \delta \) abgeschätzt werden. Die Schwierigkeit entsteht durch den Logarithmus.
Für den Logarithmus überlege ich gerade noch nach einer schöneren Abschätzung, aber da wir bereits den linearen Teil abschätzen konnten, müsste hier auch eine Abschätzung durch eine Zahl genügen (dies können wir, da \( x \in (1,10) \)).
Versuch dich mal ein bisschen an dem Beweis. Wenn Probleme auftretten melde dich nochmal.
Grüße Christian
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Könntest du mir, wenn das einfacher gehen soll trotzdem mal die Aufgabe rechnen mit dem Ansatz Komposition stetiger Funktionen. ─ akoethen 05.08.2019 um 13:27
Mit \( f(x) = \ln(x) , \ g(x) = \sqrt{x} \) ist die Komposition \( f(g(x)) = (f \circ g)(x) = \ln(\sqrt{x}) \)
Eine Komposition von Funktionen ist also eine hintereinanderausführung von Funktionen.
Aber glücklicherweise ist das Produkt und die Summe(Differenz) zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
Wir können also die einzelnen Stetigkeiten überprüfen. Die Linearen Funktionen sind sehr einfach, denn
\( g(x) = x \\ \Rightarrow \vert g(x) - g(x_0) \vert = \vert x - x_0 \vert < \delta = \varepsilon. \)
Wenn wir also \( \delta := \varepsilon \) setzen, können wir damit die Stetigkeit zeigen.
\( h(x) = ax \) läuft ziemlich analog. Man erhält \( \delta := \frac {\varepsilon} {\vert a \vert} \)
Nun zum schwersten Teil. Ich weiß nicht wie ihr den Logarithmus definiert habt, aber man könnte über die Umkehrabbildung argumentieren (\(e^x\)). Man könnte über die Ableitung argumentieren. Aber ich weiß nicht was ihr davon schon habt. Mittels \( \varepsilon - \delta \) Kriterium ist es am schwersten.
\( i(x) = \ln(x) \\ \vert \ln(x) - \ln(x_0) \vert = \vert \ln(\frac x {x_0}) \vert = \vert \ln(\frac {x-x_0} {x_0} +1) \vert \)
Wir nehmen O.B.d.A an, das \( x> x_0 \). Wir können das, da wir im anderen Fall nur \( f(x) \) und \( f(x_0) \) am Anfang vertauschen müssten und durch die Beträge sich nichts ändert.
Da \( x > x_0 \) ist \( \frac {x-x_0} {x_0} +1 > 1 \) und wir können folgende Abschätzung machen.
\( \vert \ln(\frac {x-x_0} {x_0} +1) \vert < \vert (\frac {x-x_0} {x_0} +1) -1 \vert = \vert \frac {x-x_0} {x_0} \vert < \frac {\delta} {\vert x_0 \vert} < \varepsilon \)
Wir erhalten also \( \delta := \varepsilon \cdot x_0 \).
Auch hier ist die Frage ob ihr diese Abschätzung nutzen dürft, aber eine andere ist mir leider nicht eingefallen.
Grüße Christian ─ christian_strack 05.08.2019 um 14:43