Hallo cp-Student,
das mit der Aufteilung der Summe \(\sum_{j=1}^{2k}j\) in die beiden Teilsummen \(\sum_{j=1}^{k-1}j\) und \(\sum_{j=k}^{2k}j\) hat Christian ja schon hervorragend erklärt.
Etwas ausführlicher zum kleinen Gaus:
Nimm erst einmal die Summe \(\sum_{j=1}^{2k}j\). Wie berechnest Du die? Offensichtlich so:
$$1+2+3+\cdots+(2k-1)+2k\tag{1}$$
Gut.
Und jetzt schreibst Du dieselbe Summe, nur mit umgekehrter Reihenfolge ihrer Glieder, direkt darunter und summierst Spaltenweise. Du kommst dann auf folgendes:
\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & (2k-1) & + & 2k & = & \sum\limits _{j=1}^{2k}j\\
2k & + & (2k-1) & + & (2k-2) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 & = & \sum\limits _{j=1}^{2k}j\\
\hline (2k+1) & + & (2k+1) & + & (2k+1) & + & \cdots & + & (2k+1) & + & (2k+1) & = & 2\cdot\sum\limits _{j=1}^{2k}j
\end{array}
Unter dem Strich hast Du jetzt \(2k\) mal denselben Summanden, nämlich \(2k+1\). Zusammenaddiert bekommst Du dann das Doppelte der gesuchten Summen. Das heißt, Du hast jetzt:
$$2k\cdot (2k+1)=2\cdot\sum\limits _{j=1}^{2k}j \tag{2}$$
So.
Und jetzt teilst Du beide Seiten durch 2.
Dieselbe Überlegung stellst Du jetzt mit der zweiten Summe an. Du Kommst auf:
\begin{array}{ccccccccccccc}
1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots & + & (k-2) & + & (k-1) & = & \sum\limits _{j=1}^{k-1}j\\
(k-1) & + & (k-2) & + & (k-3) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 & = & \sum\limits _{j=1}^{k-1}j\\
\hline k & + & k & + & k & + & \cdots & + & k & + & k & = & 2\cdot\sum\limits _{j=1}^{k-1}j
\end{array}
Das führt dann zu:
$$(k-1)\cdot k=2\cdot\sum\limits _{j=1}^{k-1}j \tag{3}$$
Das teilst Du dann auf beiden Seiten durch 2.
Bingo.
Viele Grüße
jake2042
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das nenne ich mal eine ausführliche Erklärung! Vielen lieben dafür <3 ─ cp-student 05.08.2019 um 23:43