Hallo,

im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (wie hier) lässt sich mit Hilfe des Exponentialansatzes mit komplexen Lösungen für \( \lambda \) noch eine weitere Darstellung herleiten. Nämlich diese die Daniel genutzt hat.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die allgemeine Form

\( y'' + a_1 y' + a_2 y = 0 \)

Wir erhalten die charakteristische Funktion

\( \lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0 \)

Wenn diese Gleichung nun komplexe Nullstellen hat, so sind diese automatisch zueinander komplex Konjugiert, also

\( \lambda_1 = a+ bi \\ \Rightarrow \lambda_2 = a- bi \)

Wir würden also die Lösungen

\( C_1 e^{(a+bi)x} = C_1 e^{ax} e^{bix} \\ C_1 e^{(a-bi)x} = C_1 e^{ax} e^{-bix}\)

erhalten und somit als allgemeine Lösung

\( y(x) = y_1(x) + y_2(x) = e^{ax} ( C_1 e^{bix} + C_2 e^{-bix} ) \)

Mit Hilfe der Eulerschen Formel \( e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) \) erhalten wir

\( y(x) = e^{ax} [C_1 (\cos(bx) + i \sin(bx) ) + C_2 (\cos(bx) - i \sin(bx) )] \\ = e^{ax} [(C_1 + C_2) \cos(bx) + (C_1 - C_2) i \sin(bx)] \)

Wir setzen die neuen Konstanten \( D =C_1 + C_2 \) und \( E= (C_1 - C_2)i \).

\( \Rightarrow y(x) = e^{ax} (D \cos(bx) + E \sin(bx) ) \)

Man macht das ganze, damit man eine reelle Lösung erhält und somit leichter mit reellen Werten wie beispielsweise den Randbedingungen weiter rechnen kann.

Angewendet auf deine Aufgabe erhalten wir mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms

\( \lambda_{1/2} = \pm \pi i \)

Also gilt \( a = 0 \) und \( b = \pi \). Setzen wir das in unsere allgemeine Lösung ein erhalten wir

\( y(x) = e^{0x} (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) = (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) \)

Grüße Christian

Hallo Christian,

herzlichen Dank. Ja, das Gute an der Mathematik ist, dass es keine Zweifel geben kann. Es konnte ja nicht sein, dass das i verschwindet.

Ich war immer der Meinung, dass eine Konstante reell sein müsste. Aber gut, die Vorstellung gebe ich damit auf. Trotzdem hätte in dem Video das kurz erklärt werden können.

Beste Grüße + Danke für deine Mühe,

Holger

Das ist zwar verständlich, halte es jedoch von der Notation her nicht für ganz korrekt, da für eine allgemeine Lösung ja gar nicht bekannt ist, ob die Randbedingungen reell sein werden. Darüber hinaus besteht die Gefahr, dass ich später vergessen könnte, dass E komplex ist. Aber ich habe auch hier gesehen,

https://deacademic.com/dic.nsf/dewiki/928966

dass eine Konstante auch eine komplexe Zahl sein kann.

Auch in Lehrbüchern habe ich diese Lösung z. B. (y = A cos(kx) + B sin(kx)) gesehen, finde es aber trotzdem nicht gut. Man muss ja immer bedenken, es ist y= A cos(kx) + i B' sin(kx). Nur weil einer damit angefangen hat, müssen nicht alle das nachmachen.

Nochmals danke!

Beste Grüße,

Holger