Lösen einer Gleichung

Erste Frage Aufrufe: 557     Aktiv: 14.08.2019 um 13:20
0

Hallo da draußen,

ich versuche schon seit geraumer Zeit die folgende Gleichung zu lösen:

24*(e^-0,4x-e^-0,6x)=1

Die Gleichung ist eine Teilaufgabe einer original Abiturklausur aus dem GK. Soweit ich das verstanden habe, muss man substituieren und genau da fehlt mir leider der Ansatz...deswegen hoffe ich, dass mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann :-)

 

MfG Max

Diese Frage melden
gefragt

Schüler, Punkte: 5

 
original Abiturklausur aus dem GK - Aus welchem Bundesland?   ─   orthando 12.08.2019 um 19:15
2012, NS   ─   maccheroni_konstante 12.08.2019 um 19:33
Ich habe letztes Jahr in Niedersachsen Abi gemacht mit dem TI Voyage 200 (CAS) und es war immer klar, dass solche Aufgaben so gelöst werden sollen. Er braucht ca. 13s zum Lösen dieser Gleichung... (Das ist lang im Vergleich zu anderen ABI-Rechnungen)   ─   vt5 12.08.2019 um 19:37
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

\(24\left( e^{-0.4x}-e^{-0.6x} \right) = 1 \\
\Leftrightarrow e^{-0.4x}-e^{-0.6x}= \dfrac{1}{24} \\
\Leftrightarrow (e^x)^{-0.4}-(e^x)^{-0.6}=\dfrac{1}{24}\)

Sei nun \(u=e^x\), so erhält man die Form

\(u^{-0.4}-u^{-0.6}=\dfrac{1}{24} \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{u^{0.4}}-\dfrac{1}{u^{0.6}}=\dfrac{1}{24}\\
\Leftrightarrow 24u^{0.6}-24u^{0.4}=u \)

Dann könnte man die Gleichung noch umformen, sodass man auf 
\( v^3-24v+24=0\) mit \(v=u^{0.2}\) kommt, aber dann stößt man an das nächste Problem.

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K

 
Du denkst auch es ist zu schwer für Schule oder???   ─   vt5 12.08.2019 um 19:27
Ja, so viel Zeit hat man dafür im Abi auch nicht. Wenn ein GTR/CAS vorhanden ist, soll sicherlich darüber gelöst werden.   ─   maccheroni_konstante 12.08.2019 um 19:32
Danke für Eure Hilfe. Ich habe mich auch gefragt, wie man an das "x²" kommen soll.. und hänge eben auch bei einem Ansatz. Aber um genau zu sein, dient dies für mich derzeit "nur" zur Übung. Wenn Ihr der Meinung seid, dass dies zu schwer bzw. komplex ist, um die Aufgabe so zu lösen, dann widme ich mich einfach anderen Aufgaben. Ich ging auch ehrlich gesagt nicht davon aus, dass sich diese Aufgabe als so komplex erweisen würde.   ─   max88 12.08.2019 um 20:03
Was denn für ein \(x^2\)?   ─   maccheroni_konstante 12.08.2019 um 20:14
Für eine Substitution.. bzw. dann eben z², damit man die ABC-Formel oder was auch immer anwenden kann, um an zwei x-Werte zu gelangen. Inzwischen habe ich aber eingesehen, dass das wohl so nicht funktioniert.   ─   max88 12.08.2019 um 20:16
Danke für Eure Hilfe und die Anregungen. Ich werde diese Übungsaufgabe dann mal bei Seite legen und andere angehen, da ich offensichtlich nicht den richtigen TR habe, um die Funktion im Ganzen ausrechnen zu lassen und ich ferner davon ausging, dass die Gleichung per Hand zu lösen sei. In diesem Sinne noch einmal vielen Dank :-)   ─   max88 14.08.2019 um 13:10
Dann kannst du die Frage schließen.   ─   vt5 14.08.2019 um 13:12
Bin noch nicht lange auf dieser Seite... wie schließe ich die Frage?   ─   max88 14.08.2019 um 13:16
Du müsstest neben der up und down Wertung einer Antwort auch die Möglichkeit haben, die Antwort zu akzeptieren, dann ist die Frage geschlossen.   ─   vt5 14.08.2019 um 13:18

Kommentar schreiben

0

Wenn du das meinst: `24*(e^(-0.4x)-e^(-0.6x))=1`

dann gilt: `24*(e^(-0.4x)-e^(-0.6x))-1=0`

Diese Gleichung hat folgende Lösungen

1) 5*log((4*sqrt(23)*i-12)^(1/3)+8/(4*sqrt(23)*i-12)^(1/3))=

`x_{1}=7.282`

2) 5*ln(-(sqrt(3)*i*root(3,4*sqrt(23)*i-12))/2-root(3,4*sqrt(23)*i-12)/2+(4*sqrt(3)*i)/root(3,4*sqrt(23)*i-12)-4/root(3,4*sqrt(23)*i-12))=

`x_{2}=0.234`

Wenn ihr also noch keine komplexe Zahlen kennst, liegt hier mit Sicherheit ein Schreibfehler vor!!!

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 5.08K

 
Wieso muss man komplexe Zahlen kennen?
Keine Ahnung wie du auf die linken Terme gekommen bist, aber auf die Terme rechts kommt man spätestens mit Näherungsverfahren und ist alles reell ;).   ─   orthando 12.08.2019 um 18:53
Danke für die Antwort. Die Lösung kenne ich imprinzip, denn die stehen im Anhang. Was mir fehlt ist ein schriftlicher Weg, also wie komme ich zu einer Substitution, damit ich z.B. die Mitternachtsformel anwenden kann, um an die beiden x-Werte zu gelangen.   ─   max88 12.08.2019 um 18:54
Und was ist die Lösung laut Schulbuch, sind das die gleichen Werte oder nicht.   ─   vt5 12.08.2019 um 18:54
Das ist keine Aufgabe aus einem Schulbuch, sondern eine original Abituraufgabe aus dem Jahr 2012. Ja die Lösung stimmt, aber mir geht es nicht um die Lösung an sich, sondern einen schriftlichen Weg dahin. Und das, was Du da angegeben hast, hilft mir leider nicht weiter, da ich aus diesem Buchstabensalat nicht schlau werde.   ─   max88 12.08.2019 um 19:00

Ok ich versuche mal, es zu erklären: Das von Hand exakt zu bestimmen ist eine meiner Meinung nach viel zu schwere Aufgabe. Wenn ihr ein CAS (Taschenrechner) benutzen dürft, dann macht das einfach damit. Wenn nicht, habe ich keine Ahnung bzw. werde ich deine Frage nicht so beantworten können, das du da mitkommst.
Diese Lösungen bekommst du mit einem CAS System, wenn du die Gleichung lösen lässt. Dieses Lösungsverfahren erfordert viel Aufwand und eben auch komplexe Zahlen... So sehen sie in "schön" aus, siehe eingefügtes Bild oben...
   ─   vt5 12.08.2019 um 19:08
Danke für Deine erneute Antwort. Also die Aufgabe sollte wohl mit GTR gelöst werden.   ─   max88 12.08.2019 um 19:13
Das ist ja fast das Gleiche wie CAS...   ─   vt5 12.08.2019 um 19:13
Damit kenne ich mich leider nicht so gut aus. Die vorigen Teilaufgaben ließen sich jedenfalls ganz einfach lösen und man brauchte den TR auch nur zum ausrechnen der Ableitungen und der Rechnung mit dem ln.. deswegen wundert es mich, dass diese Teilaufgabe jetzt so komplex zu sein scheint   ─   max88 12.08.2019 um 19:15
Dann frag mal einen Experten (Lehrer) ob ihm ein Lösungsverfahren einfällt, vielleicht übersehe ich ja auch einfach etwas...   ─   vt5 12.08.2019 um 19:17
Verzeih die Frage, aber wie würde ich die Funktion denn durch den TR jagen? Hab einen Casio: fx-82DE PLUS (falls dir das was sagt)   ─   max88 12.08.2019 um 19:19
Ich kenne leider nicht alle Modelle, kann der Wertetabellen oder Funktionen zeichnen?   ─   vt5 12.08.2019 um 19:31
Der 82DE PLUS ist aber kein GTR, sondern ein WTR.   ─   maccheroni_konstante 12.08.2019 um 19:32
Ich kann glaube ich Funktionen eintippen. Leider habe ich damit aber keine Erfahrungen..bei einem Versuch kam da nur Syntax Error rauß.. der fragt dann auch so Sachen wie: Startwert, Endwert usw. und da habe ich keine Ahnung, was der TR damit meint.   ─   max88 12.08.2019 um 20:00
Ok, dann frag am besten mal deinen Lehrer, damit er euch auf die TR Bedienung vorbereitet, denn das zu können ist fürs Abi ziemlich wichtig. Aus der Ferne ist das nicht so einfach. Start und Endwert sind aber zwei x-Werte zwischen denen die y-Werte der Funktion berechnet werden sollen.   ─   vt5 12.08.2019 um 20:03

Kommentar schreiben