Hallo,

wie vt5 bereits angesprochen hat, ist es so relativ schwierig dir eine genau Antwort auf deine Frage zu geben. Aber ich will versuchen dir mal allgemein etwas über den Strahlensatz zu erzählen. Vielleicht kannst du es dir daraus selbst ableiten oder es ist sogar die gewünschte Information schon dabei.

Bei den Strahlensätzen geht es in erster Linie um Verhältnisse von Streckenlängen.

Gucken wir uns deine erste Skizze an. Wir haben dort ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, das in 3 verschiedene Größen eingeteilt ist (die untere Seite ist entweder \( 45[LE] \), \( 90[LE] \) oder \( 135[LE] \) lang).
Nennen wir den Winkel am Punkt A \( \alpha \). Egal welches der 3 Größen wir nun nehmen der Winkel \( \alpha \) hat immer die selbe Größe. 

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für den Winkel \( \alpha \):

\( \sin(\alpha) = \frac {\text{Gegenkathete}} {\text{Hypotenuse}} \\ \cos(\alpha) = \frac {\text{Ankathete}} {\text{Hypotenuse}} \\ \sin(\alpha) = \frac {\text{Gegenkathete}} {\text{Ankathete}} \)

Was hat das ganze jetzt mit den Strahlensätzen zu tun? 

Wenn wir uns wieder deine Zeichnung angucken, haben alle 3 Größen des Dreiecks den selben Winkel \( \alpha \). Das bedeutet aber auch, dass das Verhältnis von je zwei Seiten gleich groß sein muss (siehe Sinus, Kosinus, Tangens) 

Und das ist die Idee der Strahlensätze. Dadurch das sich zwei (im dritten sogar drei) Geraden kreuzen und die anderen Geraden parallel zueinander sind erhalten wir Dreiecke mit einem gleichen Winkel. Diese müssen nicht zwangsläufig rechtwinklig sein, aber man kann aus einer ähnlichen Überlegung das ganze sich auch für allgemeine Dreiecke herleiten. Ich fand es nur anschaulicher mittels rechtwinkliger Dreiecke. 
Durch die parallelen Geraden haben die Dreiecke den gleichen Winkel und somit bleibt auch das Verhältnis bestimmter Geraden gleich. 

Noch eine kleine Anmerkung zu deiner ersten Frage auf dem Blatt. 

Ja alle diese Gleichungen beschreiben die Strahlensätze. Das kannst du dir schon klar machen, indem wir die Gleichungen ineinander umformen

\( \frac {x} {50} = \frac {45} {135} \quad \vert - \frac {x} {50} \\ \Leftrightarrow 0 = \frac {45} {135} - \frac {x} {50} \quad \vert - \frac {45} {135} \\ \Leftrightarrow  - \frac {45} {135} = - \frac {x} {50} \quad \vert \cdot (-1) \\   \frac {45} {135} =  \frac {x} {50} \)

Wir haben schon mal die zweite Gleichung. 

\( \frac {45} {135} =  \frac {x} {50} \quad \vert \cdot 135 \\ \Leftrightarrow 45 = \frac x {50} \cdot 135 \quad \vert \div 45 \\ \Leftrightarrow 1 = \frac x {50} \cdot \frac {135} {45} \quad \vert \cdot 50 \\ \Leftrightarrow 50 = x \cdot \frac {135} {45} \quad \vert \div x \\ \frac {50} x = \frac {135} {45} \)

Und die dritte. Also ja alle Gleichungen beschreiben das selbe.

Ich hoffe das hilft dir irgendwie weiter. 

Grüße Christian