"also einfach die Funktion nochmal hinschreiben und davor nochmal die innere Ableitung"

Nein, für e-Funktionen gilt: \(\left [e^{f(x)} \right]' =e^{f(x)} \cdot f'(x)\)
Bspw: \(\left [e^{3x^2+2x} \right]' =e^{3x^2+2x} \cdot (6x+2)\)

"3e^x^2"

Wo liegt hier das Problem mit der Produktregel? Die 3 als konstanten Vorfaktor kannst du vor die Ableitung ziehen.

\(\left [3e^{x^2}\right]' = 3\cdot \left[e^{x^2}\right]' = 3 \cdot e^{x^2} \cdot \left [x^2\right]' = 3e^{x^2}\cdot 2x = 6x\cdot e^{x^2}\)

"x^3*e^x^3+x^2"

Die \(x^2\) kannst mit der Summenregel einzeln ableiten und später zum linken Term dazu addieren.

Bei der Produktregel gilt:

\(\left[f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

Hier ist \(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2\) und \(g(x)=e^{x^3} \Rightarrow g'(x)=3x^2 \cdot e^{x^3}\)

Also lautet die Ableitung
\(3x^2 \cdot e^{x^3} + x^3 \cdot  3x^2 \cdot e^{x^3} \; \color{green}{+ 2x} = e^{x^3} (3 x^5 + 3 x^2) +2x\).

Hallo,

Also beim ersten Beispiel brauchst du die Kettenregel. Da haben wir 3*e^x² als Funktion. 
Für die Innere Ableitung musst du x² ableiten, also ist diese 2x.
Die äußere Ableitung von e^x² ist e^x².
Da die gesamt Ableitung Äußere mal Innere Ableitung ist bekommst du:
3*2x*e^x² 
Das kannst du zusammenfassen zu 6x*e^x².

Beim zweiten Beispiel ist die Funktion x³*e^x³ +x² gegeben.
Beim ersten Term (der Links vom Plus) Brauchst du die Produkt regel und beim e^x³ die Kettenregel zusätlich.
Bei der Produktregel hast du: Ableitung von Faktor 1 * Faktor 2 + Faktor 1 * Ableitung von Faktor 2. 
Bei der Ableitung von Faktor 2 musst du aber auch die Kettenregel anwenden.
Ableitung von Faktor 1 wäre dann: 3x²
Ableitung von Faktor 2: 3x² (innere Ableitung) * e^x³ (äußere Ableitung)
Somit erhältst du als Gesamtableitung: 3x²*e^x³+x³*3x²*e^x³+2x (2x ist die Ableitung von x²)
Das kannst du dann noch durch herausheben von x und e^x³ auf folgende schreibweise bringen:

x*(e^x³*(3x+3x^4)+2)

Ich hoffe, ich konnte die weiterhelfen!

LG