Ist das denn das Endergebnis oder muss man noch mehr machen? - Kommt mir so wenig vor ─ JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 15:38
Hallo Community,
folgende Aufgabe:
Glühbirnen werden in Kartons zu 1000 Stück verpackt. Erfahrungsgemäß finden sich dabei 100 defekte Glühbirnen. Einem KArton werden zufällig 50 Glühbirnen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau 5 defekte Glühbirnen darunter befinden ?
Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit
a) mit der Binomialverteilung
b) Nähern Sie die Hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteil an (Approximation) und führen Sie die Berechnung durch!
Die a) ist für mich kein Problem, die Werte n = 50, x = 5 und p = 10% = 0,1 in die Formel
\(P(x|n,p) = \frac{n!}{(n-x)!} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}\)
gepackt und es kommen 0,1849 = 18,49% raus.
Bei der b) hab ich Probleme...
Die Formel laut meinem Skript für die Hypergeometrische Verteilung:
\(P(x|n,N,A) = \frac {\begin{pmatrix} A \\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N & - & A \\ n & - & x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \)
Mit:
n = 50; N = 1000; A = 100; x = 5
Die Bedingungen \( x \le A \) und \( x \le n \) sind erfüllt. Mein Taschenrechner zeigt mir aber als "Math Error" an.
Kann mir da bitte einer helfen ?
Bei b sollst du die hyperg. Vtl. durch die Normalvtl. approximieren.
Die Voraussetzungen sind erfüllt und es gilt \(\mu = 50\,\dfrac{100}{1000} = 5,\, \sigma^2 = \dfrac{100\cdot 50 \cdot (1000-100)}{1000^2}=4.5\).
Sei \(X\) die Anzahl der defekten Birnen.
Somit ergibt sich \(P(X=5) \approx \Phi\left(\dfrac{5+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\dfrac{5-0.5-\mu}{\sigma}\right) \approx 0.1863\).