Wie viele verschiedene Vektoren hat ein Oktaeder?

Aufrufe: 3458     Aktiv: 17.09.2019 um 10:00
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Aufgabe: Wie viele verschiedene Vektoren können durch die Ecken eines Oktaeders festgelegt werden, wenn jeweils eine Ecke Anfangspunkt und eine andere Ecke Endpunkt eines Pfeiles ist? Das Lösungsbuch sagt 14. Meine erste Lösung war: 12 Jede Kante einfach 2 mal nehmen (für hin und zurück), also 24 und dann alle parallelen abziehen, bleiben also noch 12 übrig. Meine zweite Lösung ist: 18 Wenn man noch die inneren Verbindungen mitzahlt, also von der oberen Spitze zur unteren Spitze und die beiden diagonalen in dem Grundrechteck. Wo ist mein Fehler?
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Du hast \(\displaystyle\binom{8}{2}=28\) mögliche Vektoren, von denen die Hälfte jedoch Doppelungen (Gegenvektoren) sind.

Somit verbleiben \(\dfrac{28}{2}=14\).

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Ich verstehe weder wo die 28 bzw. 2 über 8 herkommt, noch warum Gegenvektoren jetzt auf einmal nicht mehr verschieden sind. Sobald sie in eine andere Richtung gehen ist es doch ein anderer Vektor und muss somit als einzelner Vektor gezählt werden, oder nicht?   ─   davidt 15.09.2019 um 21:33

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Hallo, 

ein Oktaeder hat \(8\) Kanten und \(6\) Ecken. Das heißt, du könntest alle Kanten nehmen und mit \(2\) multiplizieren, damit du beide Richtungen hast. Da aber je zwei Kanten parallel sind, ergeben sie den gleichen Vektor, wie du schon richtig erkannt hast. Somit kannst du \(8\) Vektoren auf den Kanten bilden. Hinzu kommen (wie du auch richtig gerechnet hast) \(6\) Vektoren im "Inneren" des Oktaeders. 

Also wie ich das sehe, hast du gedacht, dass ein Oktaeder \(12\) Kanten hat statt \(8\) und deswegen hast du \(4\) zu viel! 

Ich hoffe dir ist es jetzt klarer! :)

 

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Erstmal Danke für die ausführlichere Antwort, aber ich verstehe nicht warum ein Oktaeder nur 8 Kanten haben soll. Es gibt doch einmal 4 Kanten bei dem Grundlegenden Quadrat und dann noch jeweils 4 bei der unteren und oberen Pyramide, also insgesamt 3 * 4 = 12 Kanten. Stehe ich auf dem Schlauch?   ─   davidt 16.09.2019 um 22:33
Ja okay, ich bin irgendwie etwas blind. Es hat natürlich 12 Kanten, vielleicht hat die Lösung auch die 4 Kanten des Quadrates übersehen...
Jetzt bist du blöderweise genauso schlau wie vorher. Vielleicht sollte ich mal drüber schlafen und bin morgen besser drauf. :P   ─   endlich verständlich 16.09.2019 um 22:43
Also ich finde, dass die Pyramide dir \(8\) Vektoren gibt, das Quadrat \(4\) und das Innere \(6\), womit ich genau wie du auch auf \(18\) komme. Wenn niemand ein gutes Gegenargument bringt, würde ich sagen, dass die Lösung (eventuell auf die gleiche Art und Weise wie meine Antwort) falsch ist (ich habe die \(4\) Kanten des Quadrates ja einfach knallhart ignoriert).   ─   endlich verständlich 17.09.2019 um 08:49
Hey ihr Beiden,
verfolge das jetzt auch schon ein bisschen und hab mir inzwischen sogar eine Skizze gemacht, um sicher zu gehen, dass ich nicht noch irgend etwas übersehe. Inzwischen bin ich mir auch ziemlich sicher, dass für die Frage nach der Vektorenzahl nur 18 die richtige Antwort sein kann. Um euch darin zu bestärken ;)
Ich denke vielleicht ist das Lösungsbuch dem ersten intuitiven Gedanken gefolgt, den auch Maccheroni hatte   ─   jojoliese 17.09.2019 um 10:00

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