Zusammenhang Implikation und direkter Beweis

Aufrufe: 978     Aktiv: 14.05.2021 um 11:03
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Liebes Forum,
ich habe eine Frage zum Zusammenhang der Implikation (Aussagenlogik) und dem direkten Beweis.

Als Beispiel:



Aussage A ist in diesem Zusammenhang durch die Eigenschaften der zentrischen Streckung eine wahre Aussage.

Aussage B soll als wahr bewiesen werden. Dies geschieht jetzt durch einen direkten Beweis (indem ausgehend von einer wahren Aussage durch korrekte Umformungen Aussage B hergeleitet wird).


Sprich A und B sind beide wahr.

Jetzt wäre man doch für den direkten Beweis eigentlich fertig. Man kann jetzt aber auch sagen: A--> B , da man den einzigen Fall, der die Implikation "falsch" machne würde (nämlich, dass aus einem wahren A ein falsches B folgt) ausgeschlossen hat.

Da man beim direkten Beweis eigentlich immer aus einer wahren Aussage A herleitet, dass auch B wahr ist, ist das gleichzusetzen damit, dass man zeigt, dass die Implikation A-->B gilt.

Man erhält den Nachweis der Implikation also "gratis" dazu.

Stimmt das so? Oder ist das abosluter Unsinn?

Danke und einen schönen Herrentag!
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Die technische Antwort ist: Sobald du gezeigt hast, dass \(B\) wahr ist, hast du auch die jede Implikation \(C\Rightarrow B\), wobei \(C\) eine wahre Aussage ist, bewiesen. Also z.B. auch die Implikation \((1=1)\Rightarrow B\).
Die hilfreiche Antwort: Ein direkter Beweis verwendet das Beweisprinzip \((A\land(A\Rightarrow B))\Rightarrow B\). Das heißt, wenn du weißt, dass \(A\) wahr ist und dass aus \(A\) \(B\) folgt, dann ist \(B\) auch wahr. Die Rechnung auf deinem Blatt zeigt ja gerade die Implikation \(A\Rightarrow B\) und da du weißt, dass \(A\) wahr ist, folgerst du damit, dass \(B\) wahr ist. In der Praxis ist es also andersherum. Durch den Beweis der Implikation \(A\Rightarrow B\) erhält man die Wahrheit von \(B\).
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Hm das verstehe ich nicht so ganz...


" dass aus A B folgt" habe ich ja gezeigt. Aber ich bin irgendwie verwirrt was das jetzt mit den Wahrheitswerten der Implikation zu tun hat...

Ich meine offensichtlich folgt B aus A... Dabei ist ja jetzt bislang noch nicht relevant, ob B und A wahr sind oder? Hilfe!   ─   handfeger0 13.05.2021 um 18:23
Du hast durch deine Rechnung gezeigt, dass \(B\) aus \(A\) folgt, also die Implikation \(A\Rightarrow B\) bewiesen. Da jetzt auch noch \(A\) wahr ist, folgt. dass auch \(B\) wahr ist. Das ist das Vorgehen beim direkten Beweis (modus ponens).   ─   stal 13.05.2021 um 18:37
Frage: Der Beweis von A-->B ist aber doch nicht gleichzusetzen mit A-->B ist WAHR oder? Das hängt doch von den Wahrheitswerten von A und B ab, dachte ich?   ─   handfeger0 13.05.2021 um 19:25
Wenn du bei \(A\) anfängst, und \(B\) zeigst, hast du die Implikation \(A\Rightarrow B\) gezeigt, unabhängig davon, ob \(A\) wahr oder falsch ist.   ─   stal 13.05.2021 um 20:25
Aber bedeutet das auch, dass A—>B wahr ist? Oder erstmal nur, dass B aus A folgt?   ─   handfeger0 13.05.2021 um 21:03
Oder ist es so:
Wenn man aus A B folgert ist A—>B wahr.

Weil: Falls A wahr ist, ist durch den Beweis auch B wahr, also die Implikation. Falls A falsch ist, ist sie ohnehin war.   ─   handfeger0 13.05.2021 um 21:13
"Aus \(A\) folgt \(B\)" ist ja genau die Semantik von \(A\Rightarrow B\). Beweist du also das eine, beweist du auch das andere. Du hast schon die richtige Argumentation dafür geliefert.   ─   stal 13.05.2021 um 21:16
Was ich jetzt trotzdem nicht verstehe, ist warum am Anfang noch steht : A UND A—>B   ─   handfeger0 13.05.2021 um 21:20
Wenn du nur \(A\Rightarrow B\) weißt, dann kannst du nicht folgern, dass \(B\) gilt, \(A\) könnte ja falsch sein. Aber wenn du zusätzlich noch weißt, dass \(A\) wahr ist, dann kannst du folgern, dass auch \(B\) gilt. Oder in Formeln: \((A\land(A\Rightarrow B))\Rightarrow B\).   ─   stal 13.05.2021 um 21:23
Aber wieso folgt aus A UND A—>B, dass A wahr ist?   ─   handfeger0 13.05.2021 um 21:36
\(A\land(A\Rightarrow B)\) ist wahr, wenn \(A\) wahr ist und wenn \(A\Rightarrow B\) wahr ist, das ist die Definition von \(\land\).   ─   stal 13.05.2021 um 22:47
Aber A kann ja trotzdem auch immernoch falsch sein? Verstehe nicht, warum das UND das ändern soll?   ─   handfeger0 13.05.2021 um 23:17
Wenn \(A\land\cdots\) wahr sein soll, dann muss \(A\) wahr sein. Klar, wenn die Kknjugation falsch ist, dann wissen wir nichts über \(A\). Aber du weißt ja, dass \(A\) wahr ist, und du weißt, dass \(A\Rightarrow B\) wahr ist, und weil \((A\land(A\Rightarrow B))\Rightarrow B\) gilt, weißt du dann auch, dass \(B\) gilt.   ─   stal 13.05.2021 um 23:23
Aber ich weiß doch auch bei nur der Implikation, dass A wahr ist... dann müsste doch auch direkt B Folgen?   ─   handfeger0 13.05.2021 um 23:43
Also genau das gleich folgt doch, wenn ich mir nur A—>B anschaue und festlege, dass A wahr ist. Dann gilt die Inplikation und zudem ist B wahr.

Wo ist mein Denkfehler?   ─   handfeger0 14.05.2021 um 00:06
Also habe nochmal darüber geschlafen...
Mir leuchtet folgender Weg ein:

Du meine Umformung habe ich gezeigt, dass die Implikation A-->B wahr ist (also die 1., 3. und 4. Zeile der Wahrheitstafel in Frage kommen).

Da ich nun zudem weiß, dass A wahr ist, kann ich doch mit Hilfe der Tafel schließen, dass B auch wahr ist.

Ich weiß, dass ich langsam nerve, möchte es aber so gerne verstehen... Wieso ist das so nicht korrekt?   ─   handfeger0 14.05.2021 um 09:40
Das ist korrekt. Nichts anderes sage ich die ganze Zeit.
Und formal ist das eben: Du zeigst die Wahrheit von \(A\Rightarrow B\), du weißt die Wahrheit von \(A\) und schließt daraus die Wahrheit von \(B\), als Formel \((A\land(A\Rightarrow B))\Rightarrow B\)   ─   stal 14.05.2021 um 10:02
Mensch @stal :( Bis zu deinem "...als Formel" kann ich dir jetzt gut folgen.
Was ich einfach nicht blicken will: Wieso muss ich deine Formel nehmen und es reicht nicht, einfach nur A-->B zu zeigen und zu sagen, dass A wahr ist ?

Ich verstehe nicht, inwiefern meine Verbalisierung in deiner Formel steckt...

   ─   handfeger0 14.05.2021 um 10:55
Du musst die Formel natürlich nicht benutzen. Wahrscheinlich ist es am besten, du vergisst sie wieder, da du offensichtlich intuitiv das richtige tust.
Aber wenn du die Formel laut aussprichst, steht da: "Wenn \(A\) und \(A\Rightarrow B\) gelten, dann auch \(B\)". Das ist genau die Aussage, um die es geht (\(A\Rightarrow B\) zeigen und wissen, dass \(A\) wahr ist)   ─   stal 14.05.2021 um 11:03

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