Hey,

also \( \Omega \) ist ja bekannterweise die Ergebnismenge des Zufallsexperimentes. Du willst nun aber den Ereignissen, also den Teilmengen dieser Ergebnismenge eine Wahrscheinlichkeit zuweisen. Dafür brauchst du das entsprechende Mengensystem - die Sigma Algebra. Dort sind alle Ereignisse enthalten und für diese Mengen definierst du nun das Maß, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

Warum nicht direkt aus Omega abgebildet werden kann? Du fässt ja verschiedene Elementarereignisse aus Omega zu neuen Ereignissen zusammen. Dabei ist ja auch die gesamte Menge Omega in deiner Sigma Algebra enthalten. Das erfordert eben eine neue Struktur und das ist eben die Sigma Algebra.

Und warum man immer Mengen abbildet ist auch klar, weil diese Mengen eben die Ereignisse bilden. Du hast eine Menge von Elementen, die ein Ereignis formen. Das Zufallsexperiment liefert nun eine Realisation zurück und diese Realisation ist ein Element aus den entsprechenden Ereignismengen.

Ich hoffe das beantwortet deine Frage.

Viele Grüße
Stefan