Das ist wieder den Satz, den ich dir bei deiner letzten Frage empfohlen habe. Es geht wieder um Differenzierbarkeit von Parameterintegralen. Dafür musst du die Voraussetzungen für den entsprechenden Satz prüfen - auch hier wieder selbes Prinzip - die Wachstumsabschätzung für $b(x,\xi)$ und für für die Funktion $\hat{\varphi}(\xi) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ sind hierfür sehr nützlich.

Am besten rechnest du das ganze mal für den Differentialoperator

$$P_0=a(x) \partial_i$$
für ein $1 \leq i \leq n$ durch. Dann siehst du, was die Idee ist. Der Sprung von $P_0=a(x) \partial_i$ zu $P=\sum_{|\alpha| \leq m} a_{\alpha}(x)D_x^{\alpha}$ ist dann sich vor allem mit Multiindizes rumschlagen - aber die Rechnung/Beweis ist im Prinzip dasselbe wie bei $P_0$.

PS: $a_{\alpha}(x)$ bzw. $a(x)$ kannst du einfach ins Integral reinziehen, da ja bezüglich $\xi$ integriert wird.