Zu a) Zwei mutmassliche Fixpunkte sind ja angegeben, dass sie es wirklich sind, weist man am einfachsten durch Einsetzen nach. Wozu umstellen wenn man die Lösung schon kennt? Es ist aber auch nicht so schwer, das durch Umstellen zu lösen. Das führt auf ein Polynom vom Grad 3, dessen Nullstellen gesucht sind. Da man schon zwei kennt, kann man die dritte auf dem üblichen Weg ausrechnen. Dazu muss man in diesem Fall noch nicht mal die anderen zwei kennen.
Polynome vom Grad 3 haben max. 3 reelle Nullstellen. Wenn man also drei gefunden hat, kann es keine weiteren geben. Damit begründet man, dass man ALLE gefunden hat.

Zu Deiner Zusatzfrage: Ja, die Sätze sagen u.a. aus, dass unter gewissen Voraussetzungen die Iteration gegen einen eindeutigen Fixpunkt konvergiert. Das schließt natürlich nicht aus, dass es mehrere gibt, nur sind dann halt die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt.
Daher braucht man pro Fixpunkt ein Intervall.

Zu Deiner Abschätzung: Abschätzungen gibt es immer viele, da hilft die Übung. Deine ist richtig, aber führt nicht zum Ziel, da Deine obere Schranke nie $<1$ ist (auch nicht für $x\in [0,0]$). Das sagt aber erstmal nichts über die Kontraktion aus, sondern nur, dass diese spezielle Abschätzung nicht hilft.
Es geht ja darum $|\Phi'(x)|$ nach oben abzuschätzen. Da das aber ein Polynom 2. Grades ist, kann man hier leicht mit Schulmathematik den Verlauf überschauen und dann sehen, wo die Bedingung erfüllt ist.