Der Grenzwert ist der Wert, an den sich eine Funktion/Folge an einer Stelle (z.B. -3 oder 0) annähert. 

Z.B. konvergiert die Folge \(x_n=\dfrac{1}{n}\) im Verlauf des Unendlichen gegen null, sprich \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n=0\). D.h \((x_n)\) ist konvergent mit dem Grenzwert null. 

Eine obere/untere Schranke schränkt deine Folgen-/Funktionswerte ein. Betrachten wir die obige Folge, so ist ihr maximaler Wert (Maximum) \(x_1=1\). Nach unten ist sie durch null beschränkt.
Also ist bspw. eins eine obere Schranke und null eine untere. Allerdings ist auch 9000 eine obere Schranke, genauso wie -4 eine untere Schranke ist. Solange kein Folgenglied größer ist als ein bestimmer Wert, wäre dieser eine obere Schranke. Analog dazu mit der unteren Schranke.
Die Folge/Funktion muss allerdings nicht konvergent sein, nur weil sie beschränkt ist (besitzt obere und untere Schranke), siehe z.B. \((-1)^n\).

Was ich nicht ganz verstehe ist, wieso man dann $\underset{n\to \infty }{lim}$schreibt, ich dachte die Folge konvergiert gegen null, also dass null der Grenzwert ist, der nicht überschritten wird.$\underset{}{wieso\; also\; n\; gegen\; unendlich?}$