Hallo,

EDIT Danke: gardylulz, Fehler ist bereinigt,hab das ^-Zeichen verschluckt...

um sowas zu lösen muss man sich einfach daran erinnern, dass \(x=e^{\ln(x)}\), d.h. wenn ich einen Term in den natürlichen Log packe und danach in die e-Funktion habe ich eigentlich nichts verändert. Für Deine Aufgabe heißt das \(I(t)=15\cdot 2^{0,3452\cdot t}=15\cdot e^{\ln(2^{0,3452\cdot t})}=15\cdot e^{0,3452\cdot t \cdot \ln(2)}=15e^{0,3452\cdot \ln(2)\cdot t}\), dabei habe ich auch verwendet, dass \(log_b(x^k)=k\cdot log_b (x)\) für beliebige Basis \(b\) gilt. Dann kannst Du \(k\) direkt ablesen (der gesammte Term vor \(\cdot t\)).

Hilft das schon mal? Sag Bescheid, wenn Du noch mehr Tipps brauchst,

Viele Grüße,

MoNil

Hallo anonym,

hier nochmal etwas ausführlicher, bzw. ein etwas anderer Ansatz:

Gegeben ist \(I(t)=15\cdot 2^{0,3452\cdot t}\). Die Aufgabe sagt uns jetzt explizit, dass wir eine Funktion \(I(t)=15\cdot e^{kt}\) finden sollen, die identisch mit der ursprünglichen Darstellung ist; in erster Linie müssen wir also die passende Zahl \(k\) finden, für die die folgende Gleichung gilt:

\(15\cdot 2^{0,3452\cdot t}= 15\cdot e^{k\cdot t}\). Hier können wir erst einmal beide Seiten durch \(15\) teilen, dann erhalten wir:

\(2^{0,3452\cdot t}=e^{k\cdot t}\). Wir wollen nach \(k\) lösen, daher müssen wir die e-Funktion wegbekommen. Das geht durch Anwendung des \(\ln\) auf beide Seiten der Gleichung:

\(\ln\left(2^{0,3452\cdot t}\right)=\ln\left(e^{k\cdot t}\right)\). e-Funktion und \(\ln\) heben sich gegenseitig auf (egal in welcher Reihenfolge, also \(e^{\ln(x)}=\ln\left(e^x\right)=x\)), d.h. die Gleichung wird zu:

\(\ln\left(2^{0,3452\cdot t}\right)=k\cdot t\). Um jetzt weiter zu kommen verwenden wir eine weitere Logarithmus-Eigenschaft die unabhängig von der genauen Basis gilt: \(\log_b\left(x^y\right)=y\cdot\log_b\left(x\right)\), d.h. der Exponent einer Potenz in einem Logarithmus fällt raus und wandert als multiplikativer Faktor vor den Logarithmus. Die Basis bleibt wo sie ist. Das verwenden wir jetzt in der letzen Gleichung  (der Exponent ist hier \(0,3452\cdot t\)) und erhalten:

\((0,3452\cdot t)\cdot \ln\left(2\right) = k\cdot t\). Das können wir jetzt umsortieren, denn \(\ln(2)\) ist auch nur eine Zahl:

\(0,3452\cdot \ln(2) \cdot t = k\cdot t\). Daraus schließen wir jetzt, dass das gesuchte \(k=0,3452\cdot \ln(2)\) sein muss.

Anhand der Umformungen die ich hier gemacht habe (dort wo wir \(k\cdot t\) aus der e-Funktion herausgeholt haben), dürfte auch klar sein, warum nicht irgendein \(\log\) funktioniert, sondern eben genau der \(\ln\) nötig ist.

Ich hoffe der Weg macht das ein bisschen klarer?!

Viele Grüße,

MoNil