Schneidet die y-Achse bei \(y=-1\), d.h. \(f(0)=-1\)

Schneidet die x-Achse bei \(x=0.1\), d.h. \(f(0.1)=0\)

Du kennst also die Koordinatenpaare \( (0.1,0)\) und \((1,0)\)

Durch Einsetzen in die Funktion \(y=f(x)=(ax+b)e^{-x}\) kannst du nun die Werte für \(a\) und \(b\) berechnen. 

Dir sind zwei Bedingungen gegeben, die zu zwei Gleichungen führen.

1. Es gilt ja \(y=f(x)\) und x=0 auf der y-Achse, dann gilt mit der Bedingung \(-1=(a\cdot 0+b)e^{-0}\)
2. Hier muss du einfach nur x=0.1 und y=0 einsetzen und erhälst \(0=(a\cdot 0.1+b)e^{-0.1}\)

Jetzt musst du nur noch die zwei Gleichungen nach den Variablen auflösen.

Also du musst zuerst das Wertepaar \((0,-1)\) verwenden, d.h. \(x=0\) und \(y=f(0)=-1\)

Setzen wir das nun ein.                  

\(-1=y=f(0)=(a\cdot 0 +b)e^{0} = b\cdot e^0=b \quad \Rightarrow \quad b=-1 \)                    

Setzen wir \(b\) in die Funktion ein, erhalten wir \(f(x)=(ax-1)e^{-x}\)

Jetzt verwenden wir das Wertepaar \((0.1,0)\), d.h. \(x=0.1\) und \(y=f(0.1)=0\) 

Wieder einsetzen liefert 

\(0=y=f(0.1)=(0.1a-1)e^{-0.1} = 0.1a\cdot e^{-0.1}-e^{-0.1} \)                 /Auf beiden Seiten \(e^{-0.1}\) addieren

\(e^{-0.1}=0.1a\cdot e^{-0.1}\)        /\(e^{-0.1}\) ist ungleich \(0\), also dürfen wir \(e^{-0.1}\) kürzen

\(1=0.1a\quad \Rightarrow \quad a=10\)

Also ist \(f=(10x-1)e^{-x}\)