Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen und komme einfach überhaupt nicht mehr weiter.

Gegeben ist die Differentialgleichung
$y'(y+x^{2}y) + y^{2}x + 4x = 0$
Und ich soll sie durch Trennung der Variablen lösen, sowie die Integrationskonstante c so ermitteln, dass gilt $y(1) = 0$

Wie gehe ich hier vor?
So weit bin ich bisher gekommen:

Gleichung nach $y'$ auflösen:
$y'(y+x^{2}y) = -y^{2}x - 4x$
$y' = \frac{-y^{2}x-4x}{y+x^{2}y}$
Und Variablen Trennen:
$\frac {dy}{dx}=\frac{-y^{2}x-4x}{y+x^{2}y} = \frac{x*(-y^{2}-4)}{y*(1+x^{2})} = x*\frac{1}{y}* (-y^{2}-4)*\frac{1}{1+x^{2}}$
$\frac {dy}{dx}=\frac{x}{1+x^{2}}*\frac{-y^{2}-4}{y}$
$\frac {dy}{\frac {-y^{2}-4}{y}}=\frac{x}{1+x^{2}}dx$
$\int\frac{y}{-y^{2}-4}dy = \int\frac{x}{1+x^{2}}dx$

Hier habe ich schon die erste Schwierigkeit: wie integriere ich solche Brüche? Ich kann ja nicht substituieren, weil die Zähler sind doch keine Ableitungen von dem Nenner, oder!?

Ich habe mir vorerst mit dem Online Integralrechner weitergeholfen, aber leider verstehe ich trotz dem angegebenen Rechenweg nicht, wie diese Brüche integriert wurden, falls mir das jemand erklären kann, wäre ich sehr dankbar!

Das hier wären jedenfalls die Ergebbnisse der Integrale laut Integralrechner:
$-\frac{\ln(y^{2}+4)}{2}+c_{1} = \frac{\ln(x^{2}+1)}{2}+c_{2}$

Und wie geht es ab hier weiter? Ich versuche nach y aufzulösen:
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(x^{2}+1)+2(c_{2}-c_{1})$
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(x^{2}+1)+\ln(c)$
$-\ln(y^{2}+4)=\ln(c(x^{2}+1))$
$-y^{2}-4=cx^{2}+c$
$y^{2}=-cx^{2}-c-4$
$y=\sqrt{-cx^{2}-c-4}$

Damit $y(1)=0$ eintritt, muss dann also $c=-2$ sein.

Weder die Gleichung die ich als Ergebnis hab, noch das Ergebnis für c ist jedoch richtig.

Wo liegt also mein Fehler, bzw. wie löst man eine solche Aufgabe??

Danke!