Hallo, bei der homogenen Lösung muss man aufpassen. Da in \((\lambda-3)(\lambda+1)^2=0\) die -1 als doppelte Nullstelle vorkommt, muss man den Ansatz \(y_1(x)=ae^{-x}\), \(y_2(x)=bxe^{-x}\) und \(y_3(x)=ce^{3x}\) verwenden. Das heißt man muss noch eine Lösung einfügen.

\(y_{\text{hom}}(x)=ae^{-x}+bxe^{-x}+ce^{3x}\).

Für die partikuläre Lösung muss man sich überlegen, was passiert mit \(xe^x\), wenn man es, bis zu drei mal ableitet. Es entstehen immer Terme der Form \(\alpha\cdot e^x+\beta\cdot xe^x\). Wenn man das nun in die DGL einsetzt und die Koeffizienten der linken mit der rechten Seite vergleicht, bekommt man \(\alpha=\frac{1}{16}, \beta=-\frac{1}{8}\).