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Du nimmst an, als Beispiel $m=7$, und $a=15$. Beide sollen in $U$ sein (das ist der entscheidende Punkt hier!). Natürlich ist $15=2\cdot 7 +1$, und im Beweis ist ja erklärt, dass dann $1=15-2\cdot 7$ auch in $U$ sein muss, was aber nicht geht, da ja 7 das kleinste Element in $U$ ist. Widerspruch.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.1K
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Vielleicht Problem ist für dich das die Aussage zu trivial ist, ich meine es folgt ja sofort wenn wir Division mit Rest haben. Man kann den Beweis auch noch allgemeiner führen (euklidischer Ring ist hauptidealbereich). Wir wählen unser m nach Konstruktion so klein, dass jeder Rest 0 wird. Also alle vielefache sind die untergruppe. Sobald wir Möglichkeit haben reste zu messen in natürlichen Zahlen wir können also immer so wählen (das ist die idee von euklidische ring)
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mathejean
26.11.2022 um 21:26
Das Problem ist eher, dass die Aussage nicht verstanden wird. Die Aussage lautet, dass $m\mathbb{Z}$ die EINZIGEN Untergruppen sind. Es geht also nicht darum zu zeigen, DASS sie Untergruppen sind, sondern dass es KEINE ANDEREN Untergruppen gibt. Und deswegen braucht man den Beweis. Es wird hier nämlich gezeigt, dass dann $r=0$ folgt und die Untergruppe somit $m\mathbb{Z}$ ist und keine andere Struktur hat. Und das ist eben nicht trivial.
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cauchy
26.11.2022 um 21:36
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Wir MÜSSEN, also eine Untergruppe nehmen, die wie zM aufgebaut ist, weil nur diese erfüllt dann auch wirklich die Bedingungen und da ist dann auch r=0.
Aber wozu dann der Beweis? Ich will doch beweisen, dass nur zM die Untergruppen sind und das beweise ich, in dem ich als Untergruppe zM nehme und damit arbeite? ─ userf16024 26.11.2022 um 21:01