Hallo, ich habe wieder ein kleines Verständnisproblem - (Z / Z 7) ist eine Faktorgruppe d.h. wiederrum eine Gruppe also 7k als Untergruppe von Z wird mit Z faktorisiert, wobei man dann zu der Struktur (Z / 7 Z) := (0 + 7k, 1 + 7k , ........, 6 + 7k) gelangt. Grundsätzlich scheitert es an zwei Dingen, die Zerlegung per se ist nach Definition ein a o U d.h. ich bin mir unsicher nach welcher Operation (Z / 7Z) faktorisiert wird (+ , *) , es würde grundsätzlich keinen Sinn machen (7Z) mit * zu faktorisieren, da ich dann quasi mit e faktorisiere und keine Nebenklassenzerlegung habe, bzw. auch nicht Z partitioniere, also muss die Partition genau G' := (0 + 7k, 1 + 7k , ........, 6 + 7k), die für sich ganz Z partitionieren.

Problem:
jetzt wäre es ja theoretisch möglich aus (Z / 7Z) ein Element, wie z.B. 2 zu entnehmen und eine zyklische, endliche Gruppe zu bilden <2> := {2^(1), 2^(2), 2^(3)= 1}, damit jedoch wäre die die Ordnung von |<2>| ja 3 und somit kein Teiler nach Langrange von |G'|

Ansatz
Ist die Lösung meines Problems einfach nur, dass (0 + 7k, ...... 6 + 7k) eigentlich keine Gruppe ist, da es für 0 kein Inverses nach Fermat gibt (auch wenn 7 Prim in Z), d.h. dieses G' wäre kein weitergedachter Restklassenring, der erst dann einen Körper bildet, wenn es eine Gruppe (und damit für alle a aus G ein inverses gibt?) - wäre das doch irgendwo logisch zu erklären, dann wäre aber (Z' / 7Z) := {1 + Z, .... 6 + Z} keine Partition von G, also müsste man 7Z extra betrachten? Also G = (Z' / 7Z) vereinigt mit 7Z? (also eigentlich genau entsprechend der Beschreibung einer Faktorgruppe (G (Z) / N (7k)) genau dann, wenn  |G : N| 2 ? -> aber eigentlich wären die Restklassen von G, dann ja nicht 2, sondern - wie in meiner Frage gestern - 7 und eine andere hinreichende Bedingung doch greift (a o N o b o N <=> (a o b) o N)

Tut mir leid, ist doch etwas länger geworden, aber vielleicht könnte mir erklären, ob ich einen Denkfehler habe (die Mächtigkeit |G : N| und |U| verwirrt nur ziemlich, also ja z.b. wenn man in der Faktorgruppe eine zyklische Gruppe erzeugen will, allenfalls würde das mit |Z*7| = 6 und |<2>| ja so funktionieren?)

Vielen Dank :)