Gegeben ist das nichtlineare Gleichungssystem
$$
\begin{align}
\cos(\arctan(x+y-z))=x+y\\
\arctan(1+x-y+z^2)=y-x\\
1/(1+x^2+z^2)=z
\end{align}
$$

wobei ich die Existenz einer Lösung in $\mathbb{R}^3$ zeigen solle.

Lösungsansatz
Ich würde versuchen den Fixpunktsatz von Brouwer auf die Funktion $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow\mathbb{R}^3$
$$(x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix}
\cos(\arctan(x+y-z))-y\\
\arctan(1+x-y+z^2)+x\\
1/(1+x^2+z^2)
\end{pmatrix}$$
anzuwenden. Offensichtlich ist $f$ eine steige Abbildung, aber ich finde keine kompakt konvexe Menge $A$, sodass das Bild von $f(A)$ wieder in $A$ liegt.
Das Problem ist dabei, dass für die ersten zwei Komponenten keine Einschränkung finde (Die dritte Komponente $1/(1+x^2+y^2)$ liegt für alle $x,z$ trivialerweise in $[0,1]$.)

Ich bin für jede Hilfestellung dankbar!