Analysis I, Aufgabe...

Aufrufe: 756     Aktiv: 14.11.2020 um 19:16
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Es seien n Geraden in R 2 gegeben, so dass je zwei dieser Geraden nicht parallel sind und so dass es keinen Punkt in R 2 gibt, der auf mehr als zwei dieser Geraden liegt. Diese Geraden teilen R 2 in verschiedene Teile

p(n) = Anzahl Teile

Zeigen Sie dass:

p(n + 1) = p(n) + (n + 1)

 

Ich setze n=1

und  p(1+1) = p(1) + (1+1)  -> Falsch -> 2= 3

Dass sollte ich bestimmt nicht zeigen :)

Kann mir jmd auf die Sprünge helfen?

 

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p(1+1)=p(2) ist die Anzahl an Teilen, die von 2 Geraden erzeugt wird. Diese sollen nicht parallel sein und schneiden sich also irgendwo. Sie teilen die Ebene in 4 Teile, das kannst du dir überlegen.

Also p(2) = 4

 

p(1) ist die Anzahl der Teile, die durch eine Gerade entstehen. Eine Gerade teilt die Ebene in 2 Teile, zu je einer ihrer Seiten.

p(1)=2

 

Also

\( p(1+1)=p(1)+1+1 \)

\( 4 =2+2 \)

 

Der Zusammenhang stimmt für n=1. Der Induktionsanfang ist gemacht :)

Jetzt musst du zeigen, dass es für n+1 gilt, wenn es für n gilt! Dazu überlegst du dir am Besten, wie eine bestehende Stückelung durch eine neue Gerade in mehr Teile geteilt wird.

 

Frage gern nach, wenn dir der Zusammenhang für n=1 noch nicht klar ist.

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p(1+1)=p(1)+1+1

4=2+2

das hier ist für mich halt aus dem Hut gezaubert und für mich in null Analogie zu den Beweisen die ich bisher durchgesehen habe (und verstand)... Danke für den Ansatz ich schreib mal stumpf weiter...   ─   spahwnchi 14.11.2020 um 19:09
Eine explizite Vorschrift brauchst du gar nicht! Es genügt es für ein kleines n zu erklären (siehe oben) und dann zu zeigen, dass es wenn es für ein n gilt auch für n+1 gilt! Also ein ganz klassischer Induktionsbeweis :)   ─   jojoliese 14.11.2020 um 19:12

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