Zunächst muss hier erkannt werden, dass das Dreieck, das durch die Geraden begrenzt wird, ein rechtwinkliges ist. Das heißt, die Geraden y=2x+1 und y=-0,5x+8,5 müssen rechtwinklig sein. Zwei Geraden sind rechtwinklig, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt. Und tatsächlich 2*(-0,5)=-1 ... das passt.

Das ist geschickt, da für die Fläche rechtwinkliger Dreiecke gilt: A=(a*b)/2 wobei a und b die Seiten sind, die den rechten Winkel einschließen (die Katheten). 

Es braucht nun zur Berechnung also die Länge dieser zwei Dreiecksseiten. Und dazu braucht es zunächst die Schnittpunkte der Geraden. Hat man diese Punkte (durch Gleischetzen der Geraden), dann kann man mithilfe von Pythagoras den Abstand zwischen jeweils zwei Punkten berechnen (das dürftest du in der zehnten auch schon getan haben). Man kann sich da zur Hilfe die entsprechenden Dreiecke einzeichnen (mit Seiten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind). Das hat der Lehrer hier in rot getan. Da kann man dann über die Differenz der x- bzw. y-Werte, die Längen der Katheten bestimmen und dann die gesuchte Strecke, die Hypotenuse, ausrechnen.

Und kennt man diese Strecken, dann kann man die Fläche berechnen. :-)

Verwirrend ist das hier vielleicht auch deshalb, weil der Lehrer hier links unten Pythagoras und Flächenberechnung auf einmal gemacht hat. Die erste eingekreiste Wurzel ist die Länge der einen Dreiecksseite, die zweite Wurzel die andere. Und gesamt ist es die Flächenformel eines rechtwinkligen Dreiecks. 

Hilft dir das schon weiter? :-)