In dem Community-Artikel »Der schmelzende Eisberg. Wieviele Aufgaben hat das kleine Einmaleins?« habe ich einen Trick vorgetellt, den ich mir in der Grundschule zurechtgelegt hatte, um die 9er-Reihe nicht auswendig lernen zu müssen, weil ich mit diesem Trick jederzeit zu jeder der zehn Aufgaben aus der 9er-Reihe das Ergebnis regelrecht konstruieren konnte. Der Trick lässt sich am besten mit Tabelle 1 illustrieren.

Tabelle 1: Der 9er-Reihen-Trick
\(
\begin{array}{|rcccrl|c|c|}
\hline
A & \hspace{-2ex} & \hspace{-2ex} & \hspace{-1ex} & \hspace{-1ex}B & \hspace{-2ex}C & A+C & B+C\\
\hline
1 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-2ex}9 & 10 & 9\\
2 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-2ex}8 & 10 & 9\\
3 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}2 & \hspace{-2ex}7 & 10 & 9\\
4 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}3 & \hspace{-2ex}6 & 10 & 9\\
5 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}4 & \hspace{-2ex}5 & 10 & 9\\
6 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}5 & \hspace{-2ex}4 & 10 & 9\\
7 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}6 & \hspace{-2ex}3 & 10 & 9\\
8 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}7 & \hspace{-2ex}2 & 10 & 9\\
9 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}8 & \hspace{-2ex}1 & 10 & 9\\
10 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}9 & \hspace{-2ex}0 & 10 & 9\\
\hline
\end{array}
\)

Beispiel:

Wenn ich wissen will, wieviel \(7\cdot 9\) ist, dann brauche ich zunächst die Zehnerergänzung zu 7. Das ist 3. Damit ist 3 die Einerstelle des Ergebnisses. Die Quersumme des Ergebnisses muss 9 sein (das ist so, solange ich im kleinen Einmaleins bleibe). Von 3 bis 9 ist 6. Damit ist 6 die Zehnerstelle meines Ergebnisses. Das Ergebnis ist 63.

Der Trick funktioniert innerhalb der Grenzen des kleinen Einmaleins wunderbar, allerdings nicht darüber hinaus, wie Tabelle 2 zeigt.

Tabelle 2: Der einfache 9er-Reihen-Trick kann nicht erweitert werden
\(
\begin{array}{|rcccrcl|c|c|}
\hline
A & \hspace{-1em} & \hspace{-1em} & \hspace{-1ex} & \hspace{-1ex}B & \hspace{-1em}C & \hspace{-1em}D & A+D & B+C+D\\
\hline
1 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em} & \hspace{-1em}9 & 10 & 9\\
2 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}1 & \hspace{-1em}8 & 10 & 9\\
3 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}2 & \hspace{-1em}7 & 10 & 9\\
4 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}3 & \hspace{-1em}6 & 10 & 9\\
5 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}4 & \hspace{-1em}5 & 10 & 9\\
6 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}5 & \hspace{-1em}4 & 10 & 9\\
7 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}6 & \hspace{-1em}3 & 10 & 9\\
8 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}7 & \hspace{-1em}2 & 10 & 9\\
9 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}8 & \hspace{-1em}1 & 10 & 9\\
10 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1em}0 & 10 & 9\\
11 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1em}9 & 20 & 18\\
12 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}0 & \hspace{-1em}8 & 20 & 9\\
13 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}1 & \hspace{-1em}7 & 20 & 9\\
14 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}2 & \hspace{-1em}6 & 20 & 9\\
15 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}3 & \hspace{-1em}5 & 20 & 9\\
16 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}4 & \hspace{-1em}4 & 20 & 9\\
17 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}5 & \hspace{-1em}3 & 20 & 9\\
18 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}6 & \hspace{-1em}2 & 20 & 9\\
19 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}7 & \hspace{-1em}1 & 20 & 9\\
20 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}8 & \hspace{-1em}0 & 20 & 9\\
21 & \hspace{-1em}\cdot & \hspace{-1em}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-1em}8 & \hspace{-1em}9 & 30 & 18\\
\hline
\end{array}
\)

Es ergeben sich dabei zwei Probleme.

• Die Summe aus dem Faktor, mit dem 9 multipliziert werden soll, und der Einerstelle des Ergebnisses bleibt immer nur für je zehn Aufgaben konstant. Dann springt diese Summe jeweils gleich um eine Zehnerstelle nach oben.
• Leider hat die Quersummenbildung die Eigenschaft, dass es zu Sprüngen kommt und die Quersumme auch langsam ansteigt. In der Tabelle sind die Sprünge bei \(11\cdot 9\) und \(21\cdot 9\) zu sehen. Und die Quersumme von \(1\,745\,892\) ist nicht 9, sondern 36.

Der zweite Punkt betrifft Quersummenbildung ganz allgemein, wie sich in dem entsprechenden Wikipedia-Artikel [1] nachlesen lässt. Lassen sich diese Probleme beheben?

Ja.

Dazu ist es nötig, sich Tabelle 1 noch einmal anzuschauen und zu versuchen, aus den dort erkennbaren Beziehungen eine Funktionsgleichung abzuleiten, die zu derselben Geraden führt, wie die Geradengleichung, die die 9er-Reihe definiert (Formel (1)).

$$y=9x \tag{1}$$

In Tabelle 1 ist \(A+C=10\). Dabei ist \(A\) der Faktor, mit dem 9 multipliziert werden soll und \(C\) ist die Einerstelle des Ergebnisses. Wenn das nach \(C\) umgestellt und \(A=x\) gesetzt wird, dann entsteht Formel (2), mit der die Einerstelle des Ergebnisses ermittelt werden kann.

$$C=10-x \tag{2}$$

Tabelle 1 zeigt auch, dass \(B+C=9\) ist (Quersummenbildung). Nach \(B\) aufgelöst ergibt sich daraus \(B=9-C\). Wird für \(C\) Formel (2) eingestezt und das Ergebnis mit 10 multipliziert (Zehnerstelle), dann ergibt sich Formel (3), mit der sich der Wert der Zehnerstelle des Ergebnisses ermitteln lässt.

$$10B = 10\cdot (9-(10-x)) \tag{3}$$

Nun können die Formeln (2) und (3) zusammengebaut werden. Wenn \(y\) das gesuchte Ergebnis und \(x\) der Faktor ist, mit dem 9 multipliziert werden soll, dann ergibt sich Formel (4).

$$y=10\cdot (9-(10-x))+(10-x) \tag{4}$$

Beispiel:

\begin{array}{rcll}
10\cdot(9-(10-21))+(10-21) & = & 21\cdot9 & |\textrm{rechte Seite ausrechnen}\\
10\cdot(9-(10-21))+(10-21) & = & 189 & |\textrm{innere Klammer und Klammer nach + ausrechnen}\\
10\cdot(9-(-11))+(-11) & = & 189 & |\textrm{Klammern auflösen}\\
10\cdot(9+11)-11 & = & 189 & |\textrm{Klammer ausrechnen}\\
10\cdot20-11 & = & 189 & |\textrm{multiplizieren}\\
200-11 & = & 189 & |\textrm{subtrahieren}\\
189 & = & 189 & |\mathbf{Bingo!}
\end{array}

Die Formel funktioniert also. Für einen »Trick« ist das jetzt aber etwas zu lang. Hier:

https://grundschule-kapiert.de/einmaleins-9er-reihe/#Moumlglichkeit_3_8222Zehner_Einer_immer_98220

Wird derselbe Trick für die 9er-Reihe in den Grenzen des kleinen Einmaleins gezeigt, nur dass hier darauf abgestellt wird, dass in Tabelle 1 eben auch \(A-B=1\) ist. Wenn nach \(B\) umgestellt und \(A\) durch \(x\) ersetzt wird, dann ergibt sich \(B=x-1\). Da \(B\) die Zehnerstelle ist, müssen beide Seiten mit 10 multipliziert werden. Das ergibt \(10B=10\cdot (x-1)\) und ausmultipliziert \(10B=10x-10\). Dasselbe Ergebnis kann auch so errechnet werden:

\begin{array}{rcll}
10B & = & 10\cdot(9-(10-x)) & |\textrm{innere Klammer auflösen}\\
10B & = & 10\cdot(9-10+x) & |\textrm{Klammer ausrechnen}\\
10B & = & 10\cdot(-1+x) & |\textrm{Summanden in der Klammer umstellen}\\
10B & = & 10\cdot(x-1) & |\textrm{ausmultiplizieren}\\
10B & = & 10x-10
\end{array}

Daraus ergibt sich Formel (5).

$$y=(10x-10)+(10-x) \tag{5}$$

Diese verallgemeinerte Form des 9er-Reihen-Tricks ist in Tabelle 3 wiedergegeben.

Tabelle3: Die verallgemeinerte Form des 9er-Reihen-Tricks
\(
\begin{array}{|rrrr|c|c|r|r|}
\hline
A & B & 10B & C & A+C & B+C & 10B+C & 9A\\
\hline
1 & 0 & 0 & 9 & 10 & 9 & 9 & 9\\
2 & 1 & 10 & 8 & 10 & 9 & 18 & 18\\
3 & 2 & 20 & 7 & 10 & 9 & 27 & 27\\
4 & 3 & 30 & 6 & 10 & 9 & 36 & 36\\
5 & 4 & 40 & 5 & 10 & 9 & 45 & 45\\
6 & 5 & 50 & 4 & 10 & 9 & 54 & 54\\
7 & 6 & 60 & 3 & 10 & 9 & 63 & 63\\
8 & 7 & 70 & 2 & 10 & 9 & 72 & 72\\
9 & 8 & 80 & 1 & 10 & 9 & 81 & 81\\
10 & 9 & 90 & 0 & 10 & 9 & 90 & 90\\
11 & 10 & 100 & -1 & 10 & 9 & 99 & 99\\
12 & 11 & 110 & -2 & 10 & 9 & 108 & 108\\
13 & 12 & 120 & -3 & 10 & 9 & 117 & 117\\
14 & 13 & 130 & -4 & 10 & 9 & 126 & 126\\
15 & 14 & 140 & -5 & 10 & 9 & 135 & 135\\
16 & 15 & 150 & -6 & 10 & 9 & 144 & 144\\
17 & 16 & 160 & -7 & 10 & 9 & 153 & 153\\
18 & 17 & 170 & -8 & 10 & 9 & 162 & 162\\
19 & 18 & 180 & -9 & 10 & 9 & 171 & 171\\
20 & 19 & 190 & -10 & 10 & 9 & 180 & 180\\
21 & 20 & 200 & -11 & 10 & 9 & 189 & 189\\
\hline
\end{array}
\)

In dieser Form lässt sich das gut handhaben. Wenn ich zum Beispiel wissen will, wieviel \(21\cdot 9\) ist, dann rechne ich erst entweder \((21-1)\cdot 10=20\cdot 10=200\) oder \(10\cdot 21 -10=210-10=200\) und addiere dann \(10-21=-11\), das heißt, ich subtrahiere \(200-11=189\).

Es gibt allerdings noch eine Alternative. Wenn in Formel (5) die Klammern aufgelöst werden, dann ergibt sich \(y=10x-10+10-x\) und daraus Formel (6).

$$y=10x-x\tag{6}$$

Formel (6) spricht nun tatsächlich für sich selbst. In unserem Beispiel heißt das, es wird \(10\cdot21 - 21 = 210-21=210-20-1=190-1=189\) gerechnet. \(9\cdot x\) wird dabei einfach in \((10\cdot x) - (1\cdot x)\) aufgeteilt. (Die Klammern dienen nur der Verdeutlichung der Gruppierung. An sich gilt sowieso »Punktrechnung geht vor Strichrechnung«.)

Die Multiplikation eines Faktors \(x\) mit einer Konstanten, hier ist das 9, kann als eine Gerade dargestellt werden, die durch en Koordinatenursprung läuft. Genau das wird im kleinen Einmaleins getan, wenn »Reihen« gebildet werden.

Alle Funktionsgleichungen, die die Gerade definieren, die die Multiplikation mit 9 zeigt, sind in Abbildung 1 noch einmal zusammengestellt.

Anmerkungen

[1]
Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Graphenverlauf