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Die $n+1$ Werte $q(\tilde x_k)$, $k=0,...,n$ haben abwechselnde Vorzeichen. In der Abfolge dieser Werte gibt es dann $n$ Vorzeichenwechsel, also $n$ Intervalle, auf die der ZWS angewandt werden kann, was $n$ Nullstellen liefert. Der Autor der Quelle hat sich missverständlich ausgedrückt: Es gibt $n+1$ wechselnde Vorzeichen, aber nur $n$ Vorzeichenwechsel im Sinne von Wechsel von einem zum anderen.
Kann man sich am Beispiel klar machen ($n=2$ gibt 3 Werte, aber nur 2 VZwechsel).
Zur letzten Frage: Ja, wenn es darum geht, den Fehler in der max-Norm durch Polynominterpolation zu minimieren. Es ist aber in Anwendungen genau zu überlegen, was man will (welcher Fehler soll minimal werden? Soll mit Polynomen interpoliert oder gibt es andere, bessere Ansatzfunktionen? usw.).
Kann man sich am Beispiel klar machen ($n=2$ gibt 3 Werte, aber nur 2 VZwechsel).
Zur letzten Frage: Ja, wenn es darum geht, den Fehler in der max-Norm durch Polynominterpolation zu minimieren. Es ist aber in Anwendungen genau zu überlegen, was man will (welcher Fehler soll minimal werden? Soll mit Polynomen interpoliert oder gibt es andere, bessere Ansatzfunktionen? usw.).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.01K
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Vielen Dank! Kannst du noch kurz erklären, warum die Differenz $q(x) = \tilde T_n(x) - p(x)$ ein Polynom höchstens vom Grad n-1 ist?
─
h1tm4n
22.08.2021 um 14:34
Danke, dann ist die Begründung dafür gar nicht, weil max |p(x)| <1/[2^(n-1)] gilt. Das ist dann nur für später für den Widerspruch. Das hat mich verwirrt, weil es sich so ließt, als sei das die Begründung dafür.
─
h1tm4n
22.08.2021 um 14:52
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.